Классическая механика

 

1.1 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью Vo =4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью Vo вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

1.2 Материальная точка движется прямолинейно ускорением а = 5м/с². Определить, на сколько путь, пройденный точкой в n-ю секунду больше чем путь пройденный точкой в (n-1) секунду. Принять Vo = 0.

1.3 Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми a=60° Скорость автомашин V₁ = 54 км/ч и V₂ = 72 км/ч. С какой скоростью V удаляются машины одна от другой?

1.4 Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью Vo =10м/с и постоянным ускорением а = -5 м/с². Определить, во сколько раз путь Ds, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль её перемещения Ds спустя t = 4 с после начала отсчета времени.

1.5 Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью V₁ = 18 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью V₂ = 22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью V₃ = 5 км/ч. Определить среднюю скорость < V > велосипедиста.

1.6 Тело брошено под углом a = 30° к горизонту со скоростью V₀ = 30м/с. Каковы будут нормальное а_n и тангенциальное а_т ускорения тела через время t = 1 с после начала движения?

1.7 Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью w = л/6 (рад/с). Во сколько раз путь Ds, пройденный точкой за время t=4 с, будет больше модуля ее перемещения Dr? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол j = p/3 рад.

1.8 Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям х=A₁+B₁t+ C₁t² и у=А₂+B₂t + C₂t², где B₁ = 7м/с, С₁ = - 2м/с², В₂ = -1м/с, С₂ = 0,2м/с. Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5с.

1.9 По краю равномерно вращающийся с угловой скоростью w = 1рад/с платформы идет человек и обходит платформу за время t =9,9с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять радиус платформы R = 2м

1.10 Точка движется по окружности радиусом R = 30см с постоянным угловым ускорением e. Определить тангенциальное ускорение а_т точки, если известно, что за время t = 4с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение а_n = 2.7м/с².

1.11 При горизонтальном полете со скоростью v = 250м/с снаряд массой m = 8кг разорвался на две части. Большая часть массой m₁ = 6кг получила скорость v₁ = 400м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и направление скорости v₂ меньшей части снаряда.

1.12 С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v₁ = Зм/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной v₂ =4м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости v_2x человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m₁ = 210 кг, масса человека m₂ =70кг.

1.13 Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом a = 30° к линии горизонта. Определить скорость v₂ отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью v₁ = 480м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m₂ = 18т, масса снаряда m₁ = 60кг.

1.14 Человек массой m₁ = 70кг, бегущий со скоростью V₁ = 9км/ч, догоняет тележку массой m₂ = 190кг, движущуюся со скоростью v₂ = 3,6км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком? С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?

1.15 Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой т₁ = 2,5кг под углом а = 30° к горизонту со скоростью v =10м/с. Какова будет начальная скорость v₀ движения конькобежца, если масса его m₂ = 60кг? Перемещением конькобежца во время броска пренебречь.

1.16 На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его т₁ = 60кг, масса доски т₂ = 20кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) v = 1 м/с? Массой колес и трением пренебречь.

1.17 Снаряд, летевший со скоростью v = 400м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью v₁ = 150м/с. Определить скорость v₂ большего осколка.

1.18 Две одинаковые лодки массами m = 200кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v = 1м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m₁ = 20кг. Определить скорости и₁ и и₂ лодок после перебрасывания грузов.

1.19 На сколько переместится относительно берега лодка длиной 1 =3,5м и массой m₁ = 200кг, если стоящий на корме человек массой т₂ = 80кг переместится на нос лодки. Считать лодку расположенной перпендикулярно берегу.

1.20 Лодка длиной 1 = 3м и массой т = 120кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами m₁ = 60кг и m₁ = 90кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?

1.21 В деревянный шар массой m₁ = 8кг, подвешенный на нити длиной 1 = 1,8м, попадает горизонтально летящая пуля массой m₂ = 4г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол a = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

1.22 По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m₁ = 300кг, ударяет молот массой m₂ = 8кг. Определить КПД h удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

1.23 Шар массой m₁ = 1кг движется со скоростью V₁ = 4м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 2кг, движущимся навстречу ему со скоростью v₂ = 3м/с. Каковы скорости u₁ и u₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.24 Шар массой m₁ = 3кг движется со скоростью v₁ = 2м/c и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 5кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

1.25 Определить КПД h неупругого удара бойка массой m₁ = 0,5т, падающего на сваю массой m₂ = 120кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

1.26 Шар массой m₁ = 4кг движется со скоростью V₁ = 5м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6кг, который движется ему навстречу со скоростью v₂ = 2м/с. Определить скорости u₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.27 Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁ = 10г со скоростью v = 300м/с. Затвор пистолета массой m₂ = 200г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k = 25кН/м. На какое расстояние отойдёт затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

1.28 Шар массой m₁ = 5кг движется со скоростью v₁ = 1м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 2кг. Определить скорости u₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.29 Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью v₁ = 600м/с, а когда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью v₂ = 580м/с. С какой скоростью откатилось при этом орудие?

1.30 Шар массой m₁ = 2кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40% кинетической энергии. Определить массу т₂ большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.31 Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k₁ = 400Н/м и k₂ = 250Н/м, если первая пружина при этом растянулась на Dl = 2см.

1.32 Из шахты глубиной h = 600м поднимают клеть массой m₁ = 3,0т на канате, каждый метр которого имеет массу m = 1,5кг. Какая работа А совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффициент полезного действия h подъемного устройства?

1.33 Пружина жесткостью k = 500Н/м сжата силой f = 100H. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на Dl = 2см.

1.34 Две пружины жесткостью k₁ = 0.5кН/м и k₂ = 1кН/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию П данной системы при абсолютной деформации Dl = 4см.

1.35 Какую нужно совершить работ А, чтобы пружину жесткостью k = 800Н/м, сжатую на х = 6см, дополнительно сжать на Dx = 8см?

1.36 Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на Dl = 3мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h =8см?

1.37 Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k = 150Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8г. Определить скорость и пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на Dх = 4см.

1.38 Налетев на пружинный буфер, вагон массой m = 16т, двигавшийся со скоростью v = 0,6м/с, остановился, сжав пружину на Dl = 8см. Найти общую жесткость k пружин буфера.

1.39 Цепь длиной 1 = 2м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает , то цепь соскальзывает со стола. Определить скорость v цепи в момент ее отрыва от стола.

1.40 Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой h = 40м, наружным диаметром D = 3,0м и внутренним диаметром d = 2,0м? Плотность материала р принять равной 2.8-10³ кг/м³.

1.41 Шарик массой m = 60г, привязанный к концу нити длиной l₁ = 1,2м, вращается с частотой n₁= 2с^-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси до расстояния l₂ = 0,6м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

1.42 По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75см и массой m = 40кг приложена сила F = 1кН. Определить угловое ускорение e и частоту вращения п маховика через время t = 10с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12см. Силой трения пренебречь.

1.43 На обод маховика диаметром D = 60см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3с приобрел угловую скорость w = 9рад/с.

1.44 Нить с привязанными к ее концам грузами массами m₁ = 50г и m₂ = 60г перекинута через блок диаметром D = 4см. Определить момент инерции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение e = 1,5рад/с². Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

1.45 Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению j = At + Bt³, где А = 2рад/с, В = 0,2рад/с³. Определить вращающий момент M, действующий на стержень через время t = 2с после начала вращения, если момент инерции стержня J =0.048 кг- м².

1.46 По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью v = 8м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s = 18м.

1.47 Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12с^-1, чтобы он остановился в течение времени t = 8с. Диаметр блока D = 30см. Массу блока m = 6кг считать равномерно распределенной по ободу.

1.48 Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 0,3кг и m₂ = 0,7кг. Определить силы натяжения T₁ и Т₂ нити по обе стороны блока.

1.49 К краю стола прикреплен блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой - вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент f трения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорением а = 5,6м/с². Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, действующей на блок, пренебречь.

1.50 К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами m₁ = 0,2кг и m₂ = 0,3кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока т = 0,4кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением а =2м/с²? Силами трения и проскальзьвания нити по блоку пренебречь.

1.51 На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой m = 5кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи 1 = 70см. Скамья вращается с частотой n = 1с^-1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l₂ = 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси J = 2,5 кг×м².

1.52 На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью W₁ = 4 рад/с. С какой угловой скоростью w; будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 5 кг-м². Длина стержня 1 = 1,8м, масса m = 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

1.53 Платформа в виде диска диаметром D = 3м и массой m₁ = 180кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью w₁ будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m₂ = 70кг со скоростью v = 1,8 м/с относительно платформы.

1.54 Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол j повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку. Масса платформы m₁ = 280 кг, масса человека m₂ = 80 кг.

1.55 Нa скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью W₁ = 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью w; станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол a = 90°? Момент инерции человека и скамьи J равен 2,5 кг∙м², момент инерции колеса J₀ = 0,5 кг-м²

1.56 Однородный стержень длиной 1 = 1,0м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m = 7г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол a = 60°. Принять скорость пули v = 360 м/с.

1.57 На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 8 мин^-1 , стоит человек массой m₁ = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n₂ = 10 мин~¹ Определить массу m₂; платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

1.58 На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой m₁ = 6 кг стоит человек массой m₂ = 60 кг. С какой угловой скоростью со начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m = 0,5 кг. Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v = 5 м/с.

1.59 Горизонтальная платформа массой m₁ = 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n = 8 мин^-1.Человек массой m₂ = 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью w начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным диском, а человека - материальной точкой.

1.60 Однородный стержень длиной 1 = 1,0 м и массой М = 0,7 кг подвешен т горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В точку, отстоящую от оси на абсолютно упруго ударяет пуля массой m = 5 кг, летящая перпендикулярно стержню и его оси. После удара стержень отклонился на угол a = 60°. Определить скорость пули.

1.61 Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h = 1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R.

1.62 Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

1.63 Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m =30 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.64 С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

1.65 По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.66 На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

1.67 Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.68 Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1000 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.69 Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84-10⁸ м?

1.70 Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять, что радиус Земли в 390 paз больше радиуса Луны и вес тела па Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

1.71 На стержне длиной 1 = 30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т простых гармонических колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренебречь.

1.72 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = А₁ sin w₁t; у = А₂ cosw²t, где A₁ =8см, А₂ = 4см, W₁ = 2с. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.

1.73 Точка совершает простые гармонические колебания, уравнение которых x=Asinwt, где А =5см, w =2с^-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией П = 0,1мДж, на нее действовала возвращающая сила F = 5 мН. Найти этот момент времени t.

1.74 Определить частоту v простых гармонических смотри колебаний диска радиусом R = 20см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

1.75 Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

1.76 Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Dr = 18 см и максимальная скорость v_max = 16 см/с.

1.77 Материальная точка совершает простые гармони­ческие колебания так, что в начальный момент времени смещение х₀ = 4 см, а скорость v₀ = 10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу j₀ колебаний, если их период Т = 2 с.

1.78 Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x₁ = A₁ sin(w₁t) и x₂ = A₂ sinw₂ (t + t), где А₁ = А₂ =3 см, w₁ = w₂ = pс^-1, t = 0,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

1.79 На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М = 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью k = 500 Н/м. В шар попадает пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью v = 300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воздуха, определить амплитуду А и период Т колебаний шара.

1.80 Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом Т = 2 с. В начальный момент времени смещение шарика х₀= 4 см и он обладает энергией Е = 0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

Таблица вариантов

 

Вариант	Номера задач