Ре­ше­ние. 38 страница

 

Ответ: −4.

Ответ: -4

2.B 5 № 27584. Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, пло­щадь ко­то­ро­го равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 и 9.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длины на ши­ри­ну . Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны. По­это­му сто­ро­на квад­ра­та, пло­щадь ко­то­ро­го равна 36, равна 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

3. B 5 № 27596. Най­ди­те пло­щадь круга, длина окруж­но­сти ко­то­ро­го равна .

Ре­ше­ние.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти равен R, тогда пло­щадь круга опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой S = πR², длина окруж­но­сти опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой l = 2πR. По­это­му

 

, зна­чит,

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

4.B 5 № 245001. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го тре­уголь­ни­ка и ма­лень­ко­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

 

.

Ответ: 3

5. B 5 № 27719. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке и равны 12 и 16. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров и .

Ре­ше­ние.

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние двух век­то­ров равно про­из­ве­де­нию их длин на ко­си­нус угла между ними. Диа­го­на­ли в ромбе пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Так как ко­си­нус пря­мо­го угла равен нулю, то и ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние тоже равно нулю.

 

Ответ: 0.

Ответ: 0

6.B 5 № 27680. Точки O (0; 0), A (10; 8), B (8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

 

Ответ: 6.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем: Сле­до­ва­тель­но, ор­ди­на­та точки С равна 6.

Ответ: 6

7. B 5 № 27848. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

8. B 5 № 27456. Най­ди­те тан­генс угла .

Ре­ше­ние.

До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка , . делит ос­но­ва­ние по­по­лам, зна­чит, – вы­со­та. Из ри­сун­ка на­хо­дим .

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить и до­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

9. B 5 № 27562. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­же­на фи­гу­ра (см. ри­су­нок). Най­ди­те ее пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах. В от­ве­те за­пи­ши­те .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь фи­гу­ры равна трем чет­вер­тым пло­ща­ди круга, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен см. По­это­му

 

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

B 5 № 27681.

Точки O (0; 0), B (8; 2), C (2; 6) и A яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те абс­цис­су точки A.

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

Вариант № 3657850

1. B 5 № 27689. Най­ди­те абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния пря­мых, за­дан­ных урав­не­ни­я­ми 3 x + 2 y = 6 и y = x.

Ре­ше­ние.

Решая си­сте­му этих двух урав­не­ний, по­лу­ча­ем, что y = x = 1,2.

 

Ответ: 1,2.

Ответ: 1,2

2. B 5 № 27941. В че­ты­рех­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, , и . Най­ди­те чет­вер­тую сто­ро­ну че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда зна­чит,

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

3. B 5 № 27628. Ос­но­ва­ние тра­пе­ции равно 13, вы­со­та равна 5, а пло­щадь равна 50. Най­ди­те вто­рое ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

 

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

4. B 5 № 27845. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 4 и 5. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны сред­ним ли­ни­ям тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­е­мых диа­го­на­ля­ми и сто­ро­на­ми дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны по­ло­ви­нам диа­го­на­лей. Со­от­вет­ствен­но,

 

.

Ответ: 9.

Ответ: 9

5. B 5 № 27811. Най­ди­те диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка, две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны и .

Ре­ше­ние.

по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра диа­го­наль равна .

Ответ: 10.

Ответ: 10

B 5 № 27685.

Точки O (0; 0), A (6; 8), B (8; 2) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те длину его сред­ней линии CD, па­рал­лель­ной OA.

Ре­ше­ние.

Точки C и D яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон тре­уголь­ни­ка, тогда

 

, , , .

По­это­му

Ответ: 5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что длина OA равна . Длина сред­ней линии вдвое мень­ше — она равна 5.

Ответ: 5

7. B 5 № 27737. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра + .

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты , век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты . Ко­ор­ди­на­ты суммы век­то­ров равны сумме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат. Тогда век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты . Длина век­то­ра . По­это­му квад­рат длины век­то­ра равен .

 

Ответ: 200.

Ответ: 200

8. B 5 № 27719. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке и равны 12 и 16. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров и .

Ре­ше­ние.

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние двух век­то­ров равно про­из­ве­де­нию их длин на ко­си­нус угла между ними. Диа­го­на­ли в ромбе пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Так как ко­си­нус пря­мо­го угла равен нулю, то и ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние тоже равно нулю.

 

Ответ: 0.

Ответ: 0

B 5 № 27657.

Най­ди­те абс­цис­су се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки O (0, 0) и A (6, 8).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам, счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

 

, .

Ответ: 3.

Ответ: 3

10. B 5 № 27770. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны и . Най­ди­те угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

 

.

Ответ: 16.

Ответ: 16

Вариант № 3657882

1. B 5 № 27858. Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол , впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са 3.

Ре­ше­ние.

, зна­чит, , т. к. яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, опи­ра­ю­щим­ся на ту же хорду. Со­от­вет­ствен­но, тре­уголь­ник – рав­но­сто­рон­ний, так как .

Ответ: 3.

Ответ: 3

2. B 5 № 27588. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 16. Один из его ка­те­тов равен 4. Най­ди­те дру­гой катет.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов. Пусть не­из­вест­ный катет равен a. Тогда

см²,

от­ку­да a = 8 см.

Ответ: 8.

Ответ: 8

3. B 5 № 27604. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 42, а пло­щадь 98. Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех сто­рон. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, вто­рая равна b. Пло­щадь и пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка будут со­от­вет­ствен­но равны S = a b = 98, P = 2 a + 2 b = 42. Решая од­но­вре­мен­но эти два урав­не­ния, по­лу­ча­ем, что a ₁ = 7, a ₂ = 14, b ₁ = 14, b ₂ = 7. По­это­му боль­шая сто­ро­на равна 14.

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

4. B 5 № 315124. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 9. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

 

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга равен че­ты­рем тре­тьим ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга со­став­ля­ет шест­на­дцать де­вя­тых пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 16. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 16 − 9 = 7.

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

5. B 5 № 27688. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния пря­мой, за­дан­ной урав­не­ни­ем 3 x + 2 y = 6, с осью Oy.

Ре­ше­ние.

Дан­ная пря­мая про­хо­дит через точки (0; y) и (x; 0). Тогда под­став­ляя эти точки в ис­ход­ное урав­не­ние пря­мой, по­лу­ча­ем x = 2, y = 3

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

6. B 5 № 27691. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, за­дан­ной урав­не­ни­ем 3 x + 4 y = 6.

Ре­ше­ние.

Общий вид урав­не­ния пря­мой y = kx + b. Тогда вы­ра­жая y из ис­ход­но­го урав­не­ния, по­лу­ча­ем, что y = −0,75 x + 1,5. По­это­му k = −0,75.

 

Ответ: −0,75.

Ответ: -0,75

7. B 5 № 27758. В тре­уголь­ни­ке – бис­сек­три­са, угол равен , угол равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

так как – бис­сек­три­са, она делит угол по­по­лам. Имеем

 

.

Ответ: 74.

 

Ответ: 74

8. B 5 № 27572. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

 

см².

Ответ: 9.

Ответ: 9

9. B 5 № 27779. В тре­уголь­ни­ке угол равен , угол равен . , и – вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол между вы­со­та­ми равен углу между сто­ро­на­ми, к ко­то­рым они про­ве­де­ны: .

Ответ: 82.

Ответ: 82

10. B 5 № 245005. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди тра­пе­ции, ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

 

см².

 

 

При­ме­ча­ние.

Дан­ный четырёхуголь­ник можно раз­бить на пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, с ка­те­та­ми 1 и 3, пря­мо­уголь­ную тра­пе­ию с ос­но­ва­ни­я­ми 3 и 1 и пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 1 и 1. По­это­му его пло­щадь равна 4.

Ответ: 4

Вариант № 3657951

1.B 5 № 27686. Точки O (0; 0), A (10; 0), B (8; 6), C (2; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Най­ди­те длину ее сред­ней линии DE.

Ре­ше­ние.

Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний. Сле­до­ва­тель­но,

 

,

.

По­это­му сред­няя линия тра­пе­ции равна

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

B 5 № 27925.

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна ее мень­ше­му ос­но­ва­нию, угол при ос­но­ва­нии равен 60°, боль­шее ос­но­ва­ние равно 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этой тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка . Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Най­дем его бо­ко­вую сто­ро­ну:

 

от­ку­да Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов:

 

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (Р. А., СПб.).

 

Хорды AD, DC и CB равны, по­это­му равны и стя­ги­ва­е­мые ими дуги. Впи­сан­ный угол А равен 60°, он опи­ра­ет­ся на две из этих дуг и равен по­ло­ви­не их суммы. По­это­му каж­дая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен 6.

Ответ: 6

3. B 5 № 27582. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му она равна 0,5.

 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

4. B 5 № 27576. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. По­это­му

 

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

5. B 5 № 27941. В че­ты­рех­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, , и . Най­ди­те чет­вер­тую сто­ро­ну че­ты­рех­уголь­ни­ка.