Ре­ше­ние. Обо­зна­чим угол между и бук­вой

Обо­зна­чим угол между и бук­вой . Пусть — вы­со­та пи­ра­ми­ды . Тогда — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , сле­до­ва­тель­но, . По­это­му . По усло­вию .

Ос­но­ва­ние — квад­рат со сто­ро­ной, рав­ной . Сле­до­ва­тель­но, , , . Далее, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

 

 

Бо­ко­вое ребро , по­сколь­ку — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка . Далее, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим ис­ко­мую вы­со­ту пи­ра­ми­ды :

 

 

Ответ: 5.

4. C 2. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD, все ребра ко­то­рой равны 1, най­ди­те синус угла между плос­ко­стью SAD и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку A пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD.

Ре­ше­ние.

Пусть точка — центр ос­но­ва­ния, а — се­ре­ди­на ребра По­сколь­ку и плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой Это зна­чит, что плос­кость и есть плос­кость, про­хо­дя­щая через точку пер­пен­ди­ку­ляр­но

Про­ве­дем от­рез­ки и Так как тре­уголь­ник пра­виль­ный, Так как тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

 

 

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

 

От­сю­да

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние су­ще­ствен­но упро­ща­ет­ся, если за­ме­тить, что тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный:

5. C 2. Точка — се­ре­ди­на ребра куба . Най­ди­те угол между пря­мы­ми и

 

 

Вариант № 3755041

1. C 2. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны рёбра: Точка при­над­ле­жит ребру и делит его в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и