Движение заряженных частиц в электромагнитных полях

 

Динамическое поведение плазмы определяется как внутренними полями, создаваемыми частицами плазмы, так и внешними полями. Изучение этого поведения важно для анализа динамических процессов, протекающих в плазме, и понимания принципов действия различных плазменных устройств, например, систем магнитного удержания плазмы. При этом выясняется, что движение частиц в плазме полностью описывается законами классической механики, поскольку обычно импульс частиц плазмы достаточно велик, плотность плазмы не очень большая, а соответствующие длины волн де Бройля намного меньше расстояния между частицами. Плазма проявляет квантовые свойства только при очень больших плотностях и очень низких температурах. Более того, как правило, релятивистские эффекты малы, и для описания движения частиц достаточно ограничиться нерелятивистским приближением.

Итак, в пренебрежении столкновениями с другими частицами и излучением уравнение движения частицы с зарядом q и массой m можно записать в виде

, (64)

где – импульс частицы, – ее скорость.

, (65)

( – релятивистский фактор) или в нерелятивистском приближении

. (66)

Если электромагнитное поле не зависит от времени то, как известно из курса общей физики, остается неизменной сумма кинетической и электрической потенциальной энергий частиц :

, (67)

( – потенциал электростатического поля, так что ). Этот факт непосредственно следует из того, что при любой конфигурации магнитостатического поля оно не совершает механической работы над частицей. Соотношение (67) записано в нерелятивистском приближении, которое в общем случае следует записывать в виде

,

где – кинетическая энергия релятивистской частицы. В дальнейшем, если не оговорено противное, будет использоваться нерелятивистская механика. Особое внимание будет уделено однородным в пространстве и постоянным во времени полям, поскольку многие более сложные случаи могут рассматриваться как возмущения по отношению к этой простой ситуации.

 

8. Однородное электрическое поле ()

 

В случае постоянного стационарного электрического поля уравнение движения частицы

,

легко интегрируется:

,

где – начальный импульс частицы. Повторное интегрирование дает выражение для положения частицы как функции времени

, (68)

где – положение частицы, а – скорость частицы в начальный момент времени. Частица движется с постоянным ускорением в направлении , если q >0, и в противоположном направлении, если q <0. В направлении, перпендикулярном электрическому полю, ускорение отсутствует, и соответствующая компонента скорости остается постоянной.

 

9. Однородное стационарное магнитное поле

 

В данном случае уравнение движения выглядит следующем образом:

. (69)

Разложим скорость на две компоненты: параллельную вектору индукции магнитного поля и перпендикулярную ему , тогда

. (70)

Поскольку вектор перпендикулярен , то из уравнения (70) вытекают два следующих уравнения:

=0, (71)

в направлении, параллельном магнитному полю, и

, (72)

в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Уравнение (71) показывает, что компонента скорости частицы вдоль вектора не изменяется.

Как уже отмечалось, магнитное поле не изменяет кинетической энергии частицы. Из этого факта и только что полученного условия = const вытекает, что = const. Поскольку в силу (72) ускорение частицы всегда перпендикулярно вектору , то условие постоянства модуля перпендикулярной компоненты скорости может выполняться только в одном случае – когда этот вектор вращается с постоянной угловой скоростью , причем из уравнения (72) вытекает, что . Величина носит название циклотронной или ларморовской частоты.

Приведем решение уравнения (72) в декартовой системе координат, в которой вектор направлен по оси OZ: ( – орт, задающий положительное направление этой оси). Тогда, представляя вектор в виде суммы

, (73)

и учитывая, что

, (74)

(знак + перед циклотронной частотой соответствует положительно заряженной частице, знак – – отрицательно заряженной), перепишем уравнение (72) в виде двух уравнений:

; . (75)

Из (75) вытекает, что вторые производные компонент v_x и v_y удовлетворяют уравнению колебаний линейно гармонического осциллятора с частотой :

, (76)

следовательно,

, , (77)

где постоянная интегрирования зависит от отношения начальных скоростей v_x (0) и v_y (0):

. (78)

Из соотношений (77) получаем условие постоянства величины , равной модулю перпендикулярной составляющей скорости, как это и должно быть.

Из условия и соотношений (77) легко получить зависимость координат частицы от времени:

,

, (79)

.

В (79) были использованы обозначения:

; . (80)

Величина носит название циклотронного или ларморовского радиуса

. (81)

Вектор задает начальное положение частицы.

Из соотношений (79) и (80) видно, что траекторией частицы в плоскости, нормальной вектору магнитной индукции, является окружность радиуса :

. (82)

Центр этой окружности, являющейся мгновенным центром вращения частицы, называется ведущим центром.

Полная траектория частицы получается из суперпозиции движения по окружности (с постоянной скоростью ) и равномерного движения ведущего центра вдоль вектора с постоянной скоростью . Это означает, что частица движется по спирали. В частном случае, когда =0, траекторией частицы будет окружность, а при =0 – прямая линия.

Приведем две полезные формулы для вычисления циклотронной частоты: для электрона , для протона . В обоих случаях В выражено в теслах.

Отметим, что в релятивистском случае , а циклотронный радиус равен .