Глава 2. Цифровые системы управления

2.1. Дискретные сигналы и их z -преобразование.

Ниже на рис. 2.1.1 приведена функциональная схема одноконтурной цифровой системы управления. Компьютер в этой системе по определенной программе обрабатывает представленную в цифровой форме информацию и выдает на выходе сигнал также в цифровой форме. Программа может быть написана так, что качество системы в целом будет равно или очень близко к заданному. Многие компьютеры способны принимать и обрабатывать несколько входных сигналов, поэтому цифровые системы управления часто бывают многомерными.

Рис. 2.1.1

Компьютер получает и обрабатывает сигнал в цифровом (численном) дискретном виде, а не в виде непрерывной переменной. В цифровой системе управления обязательно присутствует компьютер, входной и выходной сигнал которого представлены в виде числового кода. Преобразование непрерывного сигнала в цифровую форму осуществляет аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Выходной сигнал компьютера (цифровой) преобразуется в непрерывную форму с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). В результате любой непрерывный сигнал x (t) будет представляет собой последовательность дискретных значений x (k D t), где k = 0, 1, 2 целые числа.

Данные, получаемые о переменных системы только в дискретные моменты времени и обозначаемые как x (k D t), называются квантованными данными или дискретным сигналом.

Любое устройство, преобразующее непрерывный сигнал в дискретный, можно рассматривать как квантователь или ключ, который замыкается каждые D t секунд на бесконечно малый отрезок времени. Рассмотрим идеальный квантователь, изображенный на рис. 2.1.2. Его входной сигнал обозначен как x (t) а выходной – x^* (t) = = x (k D t) d(t – k D t), где k D t есть текущий момент замыкания, а d(t) – единичная импульсная дельта-функция (Дирака).

 

 

Рис. 2.1.2

Предположим, что мы квантуем сигнал x (t), как показано на рис. 2.1.3, и получаем x^* (t). Тогда дискретный сигнал x^* (t) можно представить в виде последовательности импульсов (условно обо­значенных вертикальными стрелками), начи­нающихся при t = 0, разделенных интервалами в D t секунд и имеющих амплитуды x (k D t).

 

 

 

Рис. 2.1.3

Цифроаналоговый преобразователь – это устройство, которое преобразует дискрет­ный сигнал x^* (t) в непрерывный сигнал p (t). Обычно его можно представить в виде фикса­тора (экстраполятора нулевого порядка, ЭПО), как показано на рис. 2.1.4.

 

Рис. 2.1.4

Экстраполятор воспринимает значение x (k D t) и сохраняет его постоянным на интервале k D t < t < (k +1)D t, как проиллюстрировано на рис. 2.1.5 для k = 0. Таким образом, значение x (k D t) имеет место на выходе экстраполятора в течение всего периода квантования. Рис. 2.1.5 соответствует реакции экстраполяторнулевого порядка на единичный входной сигнал. При этом, передаточная функция экстраполятора равна

. (2.1.1)

 

 

Рис. 2.1.5

Квантователь и фиксатор могут достаточно точно воспроизводить входной сигнал, если только он незначительно изменяется за время, равное периоду квантования D t. Реакция квантователя и фиксатора на линейный входной сигнал изображена ни рис. 2.1.6.

Рис. 2.1.6

Z -преобразование дискретных сигналов.

Выходной сигнал x^* (t) идеального квантователя представляет собой последовательность импульсов с амплитудами x (k D t)

. (2.1.2)

Преобразовав (2.6.2) по Лапласу (см. 1.3.1 стр. 19), получим

. (2.1.3)

Это выражение представляет собой бесконечный ряд по степеням члена e^{s D t}. Введем переменную z = e^{s D t}, возможно определить новое преобразование, называемое z-преобразованием

. (2.1.4)

Пример 2.6.1. Найдем z -преобразование единичной ступенчатой функции Xевисайда q (t)

. (2.1.5)

В общем случае z -преобразование функции f (t) определяется как

. (2.1.6)

Таблица 2.1.1 содержит z -преобразования часто встречающихся функций, а таблица 2.1.2 – его свойства. С более полной таблицей 2.1.1 можно познакомиться на сайте MCS.

Таблица 2.1.1

x (t)	X (s)	X (z)
Ступенчатая функция Хевисайда, q (t)	1/ s	z / (z –1)
Импульсная функция Дирака d (t)
d (t – k D t)	exp(– k D t)	z -k
t	1/ s 2	D t z / (z –1)2
exp(– at)	1/(s + a)	z / [ z –exp(–aD t)]
1 – exp(– at)	1/ s (s + a)	z [1– exp(–aD t)] / (z- 1)[ z –exp(–aD t)]
sin(w t)	w /(s 2 + w 2)	z sin(w D t) / [ z 2–2 z cos(w D t)+1]
cos(w t)	s /(s 2 + w 2)	z [ z –cos(w D t)] / [ z 2–2 z cos(w D t)+1]
exp(- at) sin(w t)	w /[(s 2 + a 2) + w 2]	z exp(–aD t)sin(w D t) / [ z 2–2 z exp(–aD t)* *cos(w D t)+exp(–2 a D t)]
exp(- at) cos(w t)	(s + a)/[(s 2 + a 2) + w 2]	z 2– z exp(– a D t)* *cos(w D t)/ [ z 2–2 z exp(– a D t)* *cos(w D t)+exp(–2 a D t)]

Таблица 2.1.2

x (t)
1. k x (t)	k X (z)
2. x 1(t) + x 2(t)	X 1(z) + X 2(z)
3. x (t +D t)	z X (z) – z x (0)
4. t x (t)	–D t z d X (z) / d z
5. exp(– at) x (t)	X [ z exp(at)]
6. x (0), начальное значение	lim X (z) при z ® ¥
7. x (¥), конечное значение	lim(z –1) X (z) при z ® 1, если все полюсы (z –1) X (z) находятся внутри единичной окруж-ности ê z ê= 1 на z -плоскости

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в z -области определяется по z -преобразованиям входного X (z) и выходного Y (z) сигналов

. (2.1.7)

Пример 2.1.2. Пусть разомкнутая дискретная система состоит из последовательно соединенных экстраполятора нулевого порядка (см. рис. 2.1.4) с передаточной функцией G ₀(s) (см. 2.1.1) и ТО с передаточной функцией G _ТO(s) = 1/ s (s +1), как показано на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.7

Требуется найти отклик системы на единичный импульсный входной сигнал x (t) = d(t) (функцию Дирака) при D t = 1 c.

Передаточная функция по Лапласу данной системы равна

G (s) = G ₀(s) G _ТO(s) = [1–exp(– s D t)] / s ² (s + 1) =

= [1–exp(– s D t)] [(1/ s ²) + (1/ s) + 1/(s +1)]. (2.1.8)

Выбирая из таблицы 2.1.1 z -преобразование для каждого из слагаемых (2.1.8), получим

G (z) = Z {[1–exp(– s D t)] [(1/ s ²) – (1/ s) + 1/(s +1)]} =

= (1– z ^-1) Z {[(1/ s ²) – (1/ s) + 1/(s +1)]} = (2.1.9)

= =

= .

Поскольку D t = 1, то

G (z) = . (2.1.10)

Так, как X (z) = 1, то Y (z) = G (z). Поделим числитель (2.1.10) на его знаменатель

Следовательно,

Y (z) = 0,3678 z ^-1 + 0,7675 z ^-2 + 0,9145 z ^-3 + … (2.1.11)

Таким образом, на выходе системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:

y (0) = 0; y (1) = 0, 3678; y (2) = 0, 7675; y (3) = 0, 9145.

Передаточная функция замкнутой дискретной системы.

На рис. 2.1.8 показана замкнутая схема рассмотренной ранее разомкнутой цифровой системы (показаны некие условные ключи, работающие синхронно с экстраполятором).

 

Рис. 2.1.8

Передаточная функция такой системы равна

П (z) = . (2.1.12)

 

Пример 2.1.3. Пусть передаточная функция G(z) рассмотренной на рис. 2.1.8 замкнутой дискретной системы описывается выражением (2.1.10), как в примере 2.1.2. Требуется найти передаточную функцию П (z) замкнутой дискретной системы, а также – ее переходную характеристику, т.е. реакцию на единичную ступеньку x (t) = q (t) (функцию Хевисайда).

Подставляя (2.1.10) в (2.1.12), найдем

П (z) = . (2.1.13)

Так как z -преобразования функции Хевисайда равно X(z) = = z /(z –1), то

.

Произведя деление числителя на знаменатель по алгоритму, рассмотренному в примере 2.1.3, получим

Y (z) = 0,3678 z ^-1 + z ^-2 + 1,4 z ^-3 +1,4 z ^-4 + 1,147 z ^-5 + … (2.1.14)

Таким образом, на выходе замкнутой системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:

y (0) = 0; y (1) = 0, 3678; y (2) = 1; y (3) = 1,4; y (4) = 1,4; y (5) = 1,147.

2.2. Анализ устойчивости дискретных систем.

Линейная непрерывная система с обратной связью устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П (s) расположены в левой половине s -плоскости (см. рис. 1.3.1 на стр. 21).

Z -плоскость и s -плоскость связаны преобразованием

z = exp(s D t) = exp[(s + jw)D t ]. (2.2.1)

Отсюда следует, что

½ z ½= exp(s D t) и arg z = w D t. (2.2.2)

В левой половине s -плоскости s < 0, поэтому 0 £½ z ½£ 1. Конформное отображение (2.2.1) переводит мнимую ось s -плоскости в единичную окружность на z -плоскости, а область внутри этой окружности соответствует всей левой половине s -плоскости.

Замкнутая дискретная система устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П (z) расположены на z-плоскости внутри единичной окружности.

Пример 2.2.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.1.8, где

G (z) = , (2.2.3)

a K – коэффициент усиления регулятора.

Поскольку знаменатель передаточной функции П (z) замкнутой системы равен 1+ G (z), то ее характеристическое уравнение имеет вид

q (z) = 1+ G (z) = z ²–[1,3678–0,3678 K ]z +0,3678+0,2644 K = 0.

При K = 1 получим

q (z) = z ² – z +0,6322 =

= (z – 0,50 + j 0,6182)(z – 0,50– j 0,6182) = 0.

Так как оба корня расположены внутри единичной окружности, то система устойчива.

Если K = 10, то

q (z) = z ² + 2,310 z +3,012 =

= (z + 1,155 + j 1,295)(z + 1,155– j 1,295) = 0,

и система неустойчива.

Дискретная система второго порядка может стать неустойчивой при увеличении коэффициента усиления, тогда как непрерывная система второго порядка устойчива при любых значениях коэффициента усиления, если оба ее полюса находятся в левой половине s -плоскости.

2.3. Реализация цифровых регуляторов.

Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией (см. 1.6.6 стр. 42)

. (2.3.1)

Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования. Для производной по времени воспользуемся правилом правой разности (см. 1.2.5 стр. 17)

. (2.3.2)

Применив к (2.3.2) z -преобразование, получим

. (2.3.3)

Операцию интегрирования аппроксимируем с помощью формулы прямоугольников

, (2.3.4)

где u (k D t) – выход интегратора в момент t = k D t. Применив к (2.3.4) z -преобразование, получим

, или . (2.3.5)

Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД- регулятора имеет вид

. (2.3.6)

Применим к (2.3.6) обратное z -преобразование и получим разностное уравнение, описывающее алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора

u (k) = K ₁ e (k) + K ₂ [ u (k –1) + D t e (k)] + [ e (k) – e (k –1)] =

= K ₂ u (k –1) + [ K ₁ + K ₂ D t + ] e (k) – e (k –1). (2.3.7)

Вычисление по уравнению (2.3.7) легко выполнить с помощью компьютера.

2.4. Модели систем в переменных состояния.

Широкое применение цифровых компьютеров побуждает рассматривать и описывать системы управления во временной области. Соответствующие методы являются более мощными по сравнению с рассмотренным выше методом преобразования Лапласа для анализа линейных систем управления с постоянными параметрами, т.к. могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления – это система, в которой один или более параметров являются функциями времени.

Переменные состояния динамической системы.

Предположим, что система управления описывается дифференциальным уравнением второго порядка

B d² y (t) /d t ² + C d y (t) /d t + D y (t) = x (t). (2.4.1)

Выберем в качестве переменных состояния координату y (t) и скорость ее изменения d y (t)/d t. Введем обозначения этих переменных

y ₁(t) = y (t), (2.4.2)

y ₂(t) = d y (t)/d t.

Тогда вместо дифференциального уравнения (2.1.1) второго порядка можно рассматривать систему дифференциальных уравнений первого порядка

d y ₁(t) /d t = 0 y ₁(t) + y ₂(t), (2.4.3)

d y ₂(t) /d t = – (D / B) y ₁(t) – (C/B) y ₂(t) + (1/ B) x (t).

Эти уравнения описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Более того, переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущие состояния, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

В общем случае состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния

x ¢₁ = a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + … + a _1n x _n + b ₁₁ u ₁ + b ₁₂ u ₂ +…+ b _1m u _m,

x ¢₂ = a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2n x _n + b ₂₁ u ₁ + b ₂₂ u ₂ +…+ b _2m u _m,

…………………………………………………………….,

x ¢_n = a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + … + a _nn x _n + b _n1 u ₁ + b _n2 u ₂ +…+ b _nm u _m,

где x ¢ = d x (t)/d t. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме

,

или более компактном виде

, (2.4.4)

используя векторы-столбцы x и u, а также матрицы A = [ a _nm] и B = [ b _nm].

В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением вида

y = Cx + Du, (2.4.5)

где y – совокупность выходных сигналов, представленных вектором-столбцом.

Пример 2.4.1. Запишем уравнение состояния для RLC цепи, изображенной на рис. 2.4.1.

 

Рис. 2.4.1

Введем обозначения переменных состояния x ₁ = u_C, а x ₂ = i_L. Тогда, на основании уравнений Кирхгофа для токов, получим

d x ₁(t) /d t = 0 x ₁(t) – x ₂(t) + u (t), (2.4.5)

d x ₂(t) /d t = x ₁(t) – x ₂(t).

Выходной сигнал равен

y ₁(t) = u_R (t) = R x ₂(t). (2.4.6)

Таким образом, уравнение состояния в векторной форме имеет вид

, y (t) = [0 R ] x (t). (2.4.7)