Формулировка математической задачи оптимизации

 

Объединяя результаты предыдущих этапов построения математи­ческой модели, ее можно записать в виде математической задачи оптими­зации. Если известна целевая функция Z(x), то для записи задачи оптими­зации в общем виде используется символика:

Z(x) → min (max) = f_G

_{x € U,}

где U - допустимое множество, заданное ограничениями на управ­ляемые переменными.

Для управления запасами математическая задача оптимизации запи­шется как:

 

L = + → min

0 < q ≤ q_max,

где q_max - есть предельно возможная, например, из-за грузоподъем­ности транспорта, денежных ресурсов или других причин партия постав­ки.

Для управления распределением в ситуации, приведенной в п. 8.4 и 8.5, можно рассмотреть несколько вариантов.

1. Оптимизация прибыли:

Z₁ = y₃ = → max

при

0 < y₁₁ ≤ M₁

0 < y₁₂ ≤ M₂

0 < y₁₃ ≤ M₃,

y₂₁ = П₁, y₂₂= П₂, y₂₃ = П₃, y₂₄ = П₄, y₂₅ = П₅

 

2. Минимизация денежных затрат

Z₂ = → min

при тех же ограничениях, что в п. 1.

3. Минимизация затрат времени:

z₃ = → min

при ограничениях

y₂₁ = П₁, y₂₂ = П₂, y₂₃ = П₃, y₂₄ = П₄, y₂₅ = П₅,

Z = y₃ = ≥ Z_min,

 

где Z_min - минимально допустимая величина прибыли.

Формулировка задачи оптимизации в моделях динамического про­граммирования (с закрепленными концами) состоит в определении на­чального и конечного состояний, этапов перехода, количественных ха­рактеристик состояния каждого этапа и формулировке критерия принятия решения на каждом этапе.

 

8.7. Построение модуля выработки оптимальных (формальных) ре­шений

В п. 4.3 было дано определение модуля. Модуль выработки решений в соответствии с математической задачей оптимизации по входам; постоянным параметрам и управляемым переменным. Полученные на выходе оптимальные решения являются теми значениями управляемых переменных, которые доставляют экстремальное значение целевой функции, т.е. являются наилучшим путем достижения цели и поэтому играют роль управляющих воздействий (управлений) на управляемый процесс.

Представим процесс выработки решений в виде формальной модели процесса. Тогда, для того, чтобы построить модель выработки решений необходимо:

Определить входы х⁺, выходы х-, постоянные а и переменные фак­торы х, влияющие на выход х-.

Определить параметры состояния у

Выбрать модель расчета параметров состояния у по входам х⁺, по­стоянным параметрам а, управляемым переменным х (правило S).

Выбрать числовой критерий оптимизации Z.

Сформулировать математическую модель оптимизации.

Реализовать правило формирования оптимального выхода в соот­ветствии с математической моделью оптимизации (правило V, V или V и V)

х-= V(x⁺,a,t,y)

х-= V(x⁺,a,t)

На выходе модуля получаем выходные характеристики х- в виде на­
бора управляющих воздействий x-₁= u₁, х-₂ = u₂,, доставляющих це­левой функции экстремальное значение f_G.

Такой модуль может быть условно назван "решателем", поскольку он вырабатывает управления в соответствии с законом управления, зада­ваемым правилами S, V или V.

Его схематично можно представить как показано на рис. 11.

 

 

 

 

Рис. 11. Схема модуля "Решатель"

 

На рис. 11 буквой G обозначена цель, в соответствии с которой выствий, позволяющих получить экстремальное числовое значение крите­рия, характеризующего достижение цели.

Рассмотрим построение модуля формальной выработки решений ("'решателя") на примере процесса управления запасами.

Входы:

x⁺₁ - количество Q₁ ресурса i

х⁺2 - время Т, на которое требуется обеспечение ресурсом i

Постоянные параметры:

a₁ = k - издержки на размещение и поставку партии

а₂= S - издержки на содержание запаса

а_з = V - спрос

Переменная(управляемая)величина:

q - партия поставки ресурса

Параметр состояния издержки на обеспечение запасом:

y = L Модель расчета параметра состояния в единицу времени:

 

y = L = + = S(k,V,S,q)

Числовой критерий оптимизации

 

Z = L = +

 

 

Математическая модель оптимизации:

L = + → min

0 < q ≤ q_max

Формирование выхода:

x-₁ = V (k,V,S,q)

Правило V соответствует оператору отысканию оптимального зна­чения q=x-₁ обращающего в нуль производную числового критерия оп­тимизации L по q, т.е

= 0

И нахождения оптимального значения цикла поставки t- =

Правило V формирует выход х-_3, определяющий значение затрат на время t, т.е. х-₃ = L t.

Теперь "решатель" можно изобразить схематично как; показано на
рис. 12.

 

Рис. 12. Модуль выработки формальных решений в процессе управ­ления запасами

Аналогично можно представить "решатель" для задач распределения, а также динамического программирования (для одного этапа).

В курсовом проекте в модуле "решатель" символы должны быть от­ображены конкретными числами, характеризующими управляемый про­цесс в соответствии с информационным обеспечением (см. п.9)

 

8.8. Построение модели замкнутой (динамической) системы управле­ния.

8.8.1. Структура цикла непрерывного управления

Модель замкнутой системы управления строится по принципу управ­ления процессом для получения некоторого конечного результата (выхода). Она включает управляемый процесс, фактический выход и управляющую систему, обеспечивающую достижение конечного резуль­тата. Эти блоки образуют контур регулирования с отрицательной обрат­ной связью. Представим его в виде блок-схемы:

 

 

Рис. 13. Структура замкнутой системы управления

 

 

Сенсором является некоторое устройство, механизм, который считы­вает значение контролируемой переменной.

Задатчик цели задает стандарт - эталон с которым будет сравниваться полученный результат. Это сравнение осуществляется блоком, назы­ваемым дискриминатором или компоратором. Различия между действи­тельными и фактическими значениями переменных передаются в блок формирования решения, который определяет, какое именно действие (управление) должно быть выполнено исполнительным органом-эффектором. ■

Блок "формирования решения для рассматриваемого объекта был сформулирован в соответствии с п. 8.4.

При выполнении настоящего раздела следует иметь ввиду, что замк­нутая система управления является динамической системой и предназна­чена для долговременного управления процессом, протекающим во вре­мени и в условиях воздействия окружающей Среды. В предыдущих раз­делах процессы управления запасами, распределением, процесс принятия решения рассматривались как операция принятия решения в фиксирован­ный момент времени на какой-то промежуток времени.

В общем случае необходимо рассмотреть непрерывное функциони­рование объекта во внешней среде. Моделью, способной отобразить поведение управляемой системы к требованиям (целям) и возмущающим воздействием внешней Среды, является приведенная на рис. 1,3 киберне­тическая модель управления. Она позволяет получать непрерывно конеч­ный результат, соответствующий поставленной цели и ограничениям и поэтому, с точки зрения организационных систем, называется управлени­ем по конечному результату. Фактически достигаемый конечный резуль­тат измеряется входным анализатором. Он с помощью сенсора (датчика) измеряет фактическое значение результата, а дискриминатор сопоставляет его с желаемым (эталоном), в результате чего становиться ясно: требуется ли принимать решение и воздействовать (корректировать) управляемую систему на следующем цикле или нет.

Рассмотрим построение модели системы управления на примере управления запасами.

 

8.8.2. Динамическая модель управления запасами

В начале рассмотрим управляемый процесс во времени. Он состоит в пополнении запаса элементов на некотором складе, причем потребление элементов может случайным образом колебаться.

Поэтому вместо константы v, характеризующей расход в простейшей модели, он является некоторой случайном величиной р (t - t_o) за период времени между текущим моментом t и моментом предыдущей поставки партии to.

Фактическое состояние запаса на складе у (t) в текущий момент вре­мени t определяется выражением:

y(t) = y(t_o)+Zq_i(t-t_o)-Zp_i(t-t_o),

где у (t_o) - запас элементов в момент времени to.

∑ q_i (t - t_o) - суммарное поступление элементов с момента to.

∑ p_i (t - t_o) - суммарный расход элементов с момента t_o

Тогда модель склада можно изобразить схемой в виде модели:

 

 

Рис. 14. Модуль формирования состояния склада

 

Задатчик цели формирует две цели. Первая - непрерывное обеспече­ние ресурсом потребителя. Мерой оценки ее достижения служит эталон в виде неснижаемой величины запаса в количестве "∆".

Вторая минимизация издержек на поддержание и хранение запаса, т.е. требование L —> min.

Схема модели замкнутой (динамической) системы управления про­цессом показана на рис. 14. Значение эталона ^“∆” поступает в дискрими­натор, значение цели - в блок принятия решения. Сенсор учитывает фактическое количество элементов на складе путем их визуального наблюде­ния и счета. Полученное количество у (t) отражает фактическое состояние y(t) с некоторой погрешностью, определяемой точностью учета и времен­ным интервалом. Полученные данные у (t) сравниваются со значением эталона "∆".

Если у (t)>∆, то уровень запаса допустимый и необходимости по­полнения запаса и принятия решения о размере партии поставки нет. Если y'(t)<∆, то уровень запаса снизился до эталона или ниже и требуется определить размер заказа. Поэтому с дискриминатора передается управ­ление блоку принятия решения, который "обеспечивается" информацией о значениях Q и Т, рассчитанных на момент времени t:

Q(t) = Q - ∑ q-₁

T(t) = T – (t-t₀)

 

Полученное в блоке принятия решений (в момент снижения запаса до уровня ∆) управление передается в исполнительную систему для органи­зации поставки партии элементов в количестве q". После поставки партии значения Q и Т корректируются.

Заметим, что поскольку расход элементов случайный, то цикл по­ставки будет определяться временем снижения уровня запаса до устано­вленной величины неснижаемости запаса.

Описанный процесс отображается в виде блок-схемы модели замкну­
той системы управления как показано на рис. 15.

 

 

 

Рис. 15. Схема динамической модели управления запасами

 

Обозначения: → информация

=> материальные элементы

 

9. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

 

Для того, чтобы модель была пригодной для практического примене­ния ее необходимо "обеспечить" информацией о текущих значениях, вхо­дящих в нее величин параметров. С этой целью в общем случае необхо­димо:

· определить подразделения, в которых формируется или поступает
требуемая информация;

· определить первичные документы, из которых берется информация;

· определить процедуру обработки информации для вычисления зна­чений параметров;

· установить каналы передачи информации из подразделений в си­стему управления.

Например, в системе управления распределением электроэнергии на подстанции, модель определения состояния по потерям мощности содер­жит величины k, I_ni, T, а также ограничения по напряжению и сечению проводов U_{n i} max И S_{n i} max.

Величина "к" - стоимость кВт ч электроэнергии одинакова для всех энергосистем.

Расстояние до i-гo объекта 1_ni,а (n= 1,5; i = 1,4), где n - номер фидера (схемы снабжения объектов электроэнергии), i - номер объекта внутри фидера, определяется по схемам, приведенным в приложении.

Величина Т принимается равной месяцу - 720 час/м.

Величины I_ni,U_nimax и S_nimax зависят от конкретных условий передачи электроэнергии и представлены в таблице 2.

Таблица 2

Номер фидера	Номер объекта в фидере	Расстояние до i-го объекта(км)	Uni max	Sni max
	1,3	3,2	0,4
	….	….	….	….

 

При управлении процессом оптимального распределения активов банка модель определения состояния дохода включает затраты на при­влечение j-гo вида пассивов в конкретный i-й вид актива (с_ij), суммарные данные о вкладах граждан, депозитов предприятий, средств на расчетных счетах клиентов, собственных векселях. Схема информационного обеспе­чения подразделения "Управление анализа и планирования", которое решает названную нише задачу покапана па рис. 16.

 

 

 

 

Рис. 16. Схема информационного обеспечения модели управления использованием пассивов.

 

В процессах, cвязанных со случайностью, необходимо использовать статистические данные о значениях случайной переменной. Например, пусть статистика о спросе (продаже) хлеба в торговой фирме за 12 недель по дням недели имеет вид, приведенный в табл.3.

Таблица 3.

Дни недели	Реализация в тоннах
Понедельник	5,1	5,1	5,9	5,4	5,8	6,0	5,9	5,7	7,7	5,7	5,8	6,3
Вторник		5,1	5,3	5,4	6,3	5,8	5,0	6,1	8,5	6,0	5,3	6,4
………….	…	.…	..	..	…	…	…	….	…	….	…	…
Воскресенье	4,7	1,7	4,6	5,5	5,5	5,7	5,4	5,8	4,2	5,2	5,0	5,0

 

Для оценки частоты появления того или иного значения случайной величины (объема продаж) в день недели, например, понедельник, опре­делим разброс случайной величины. Он составляет (5,1-7,7). Разобьем весь интервал от 5 до 8, например, на 6 интервалов: 5,0-5,5; 5,51-6,0; 6,01-6,5; 6,51-7,0; 7,01-7,5; 7,51-8,0. Из таблицы видно, что в первый интервал попало 3 значения, во второй - 6, в третий - 1, в шестой - 1. Если значение случайной величины заменить ее средним значением в интервале, то по­лучим 5,25; 5,7; 6,25; 6,75; 7,25; 7,75. Тогда частота (вероятность) появле­ния этих значений в понедельник составит:

р(5,25) = 3/11= 0,27

р(5,75) = 6/11= 0,55

_Р(6,25)= 1/11 =0,09

р(7,75)= 1/11 =0,09

 

Эти оценки могут быть использованы для определения математиче­ского ожидания случайной величины в модели. В информационном обес­печении следует предусмотреть сбор, обработку, передачу информации в управляющую систему (кто формирует, где и как обрабатывается, в какой блок модели передается, когда корректируется).

В моделях управления запасами содержатся величины "к" и "S", со- ответствующие расходам на размещение и поставку заказа и на содержа­ние единицы запаса в единицу времени. Стоимость размещения заказа к устанавливается по данным отдела снабжения и бухгалтерского учета. В информационном обеспечении необходимо показать (и приложить) соот­ветствующие документы и процедуру определения величины к.

Издержки содержания единицы продукции в единицу вре'мени S за­висят от:

1. Стоимости капитальных вложений в запасы
   (прямопропорциональны уровню и времени хранения)
2. Затрат на учет и административные расходы
3. Затрат на складские операции (стоимость рабочей силы, оборудо­вание на складе)
4. Стоимость хранения, включая плату за складское помещение или
   амортизационные отчисления
5. Потери от порчи продукции
6. Страховые взносы и налоги.

Необходимо отразить, как формируются эти данные и определяется значение S для использования в модели.

 

10. ОПРОБОВАНИЕ МОДЕЛИ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные при разработке информационного обеспечения кон­кретные числовые значения и входные данные необходимо "ввести" в модель "решателя" и провести пробное решение для получения значения оптимального управления на одном цикле управления.

Полученные результаты сопоставляются с результатами функциони­рования реально существующего объекта. Например, в задачах управле­ния запасами можно использовать данные об отчетности движения кон­кретного вида материала (товара) по форме, приведенной на рис.18.

Номер по порядку	Годовой (месячный) объем реализации	Число поставок при сложившихся условиях ni
… N	Q1 … QN	N1 … nN

Рис. 18. Форма статистических данных

 

Фактический объем партии поставки определяется по формуле:

q =

а фактические издержки по формуле:

L = kn + T,

которые можно сравнить с полученными в проекте. В приведенном выше примере управления распределением электро­энергии на подстанции в результате подстановки в модуль оптимизации реальных данных и ограничений получены издержки 830,54 руб., в то время как существующие убытки составляют 2580 руб.

В заключении пояснительной записки приводятся выводы, выте­кающие из всей работы, неучтенные факторы, которые следовало бы учесть при дальнейшем исследовании и связанные с этим трудности, ре­комендации по использованию спроектированной модели системы управления.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Р. Акоф, М. Сасиени. Основы исследования операций. Мб Мир,

1971.

2. ВА. Сакович. Исследование операций (детерминированные ме­
тоды и модели). Справочное пособие. Минск: Высшая школа, 1985.

3. У. Черчмен, Р. Акоф, Л А. Арноф. Введение в исследование опера­
ций. - М: Наука, 1968.

4. Е.С. Вентцель. Исследование операций. Задачи, принципы, мето­
дология. -М: Наука, 1988.

5. В.В. Лесин, Ю.П. Лисовец. Основы методов оптимизации. -М: Из­
дательство МАИ, 1995.

6. Воронов АА. Исследование операций и управление. -М: Наука,
1970.

7. В А. Губанов, В.В. Захаров, А.И. Коваленко. Введение в системный
анализ. Учебное пособие. - Л: Издательство ЛГУ, 1988.

9. Букан Д., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. -М, 1967.

Наговицына Л.П. Как управлять товарными запасами? -М, 1989.

Спец. литература по выбранному объекту.