Основні поняття та терміни. Взаємозв’язок випадкових величин і функції дістав назву регресії

Взаємозв’язок випадкових величин і функції дістав назву регресії. Виділяють парну та множинну регресії лінійного і нелінійного типів. Вид та параметри рівняння регресії знаходять за допомогою методу найменших квад-ратів. За наявності кореляційної залежності визначають тенденцію зміни ре-зультативного показника при змінах факторів-ознак.

Найчастіше застосовуються такі математичні залежності для оцінювання кореляційного зв’язку між факторами:

– прямолінійна:

у = а₀ + a₁·х, (2.9)

де а₀ – стала (область існування моделі); а₁ – коефіцієнт регресії, що характеризує середню зміну результативного показника при змінах фактора-ознаки; t – час появи чергової події;

– параболічна:

у = a₀ + a₁·x+ a₂х₂, (2.10)

– показникова:

у = а₀ + a₁х, (2.11)

– степенева:

у = a₀·xa₁, (2.12)

– гіперболічна:

y = a₀ + a₁/х, (2.13)

– напівлогарифмічна:

у = а₀ + а₁lgx, (2.14)

Оцінювання тісноти зв’язку ґрунтується на показниках варіації:

– загальній дисперсії результативного показника усіх факторів сукупності;

– факторній дисперсії результативного показника, що показує його варіацію під впливом окремих факторів;

– залишковій дисперсії результативного показника, яка показує його варіацію під впливом усіх факторів, крім виділеного.

Якісною оцінкою ступеня зв’язку випадкових величин виступає коефіцієнт детермінації, що визначається відношенням факторної та загальної дисперсій. Індекс кореляції розраховується як квадратний корінь із коефіцієнта детермінації, причому його значення лежать у межах від –1 до +1. Знак “–” свідчить про наявність зворотного зв’язку між факторами.

Для оцінювання значущості індексу кореляції використовують F-кри-терій Фішера.

Фактичне значення цього критерію порівнюють із критичним значенням, яке визначають з урахуванням рівня значущості та кількості ступенів свободи. Якщо фактичне значення F-критерію Фішера більше від критичного, то індекс кореляції вважається істотним.

Оцінювання ступеня зв’язку випадкових величин здійснюється з використанням коефіцієнта детермінації за шкалою Чеддона:

0,1...0,3 – незначний; 0,7...0,9 – високий;

0,3...0,5 – помірний; 0,9...0,99 – дуже високий;

0,5...0,7 – істотний; 1,0 – функціональний.

Для коефіцієнта детермінації R² > 0,7 варіація залежної змінної в основному обумовлена впливом факторів, і для прогнозування можна використовувати одержані регресійні моделі.

Якщо аналізується невелика сукупність даних (< 30), для визначення їх довірчого інтервалу використовується t-критерій Стьюдента. Розраховане значення t-критерію для коефіцієнта кореляції порівнюється з критичним з урахуванням прийнятого рівня значущості, а також кількості степенів вільності та вважається типовим, якщо tp > tк. Аналогічно оцінюється значущість фак-торів на основі t-критерію.

Критичні значення t-критерію Стьюдента залежно від кількості степенів вільності k = п – 2 і рівня значущості наведено в додатку Б.

При проведенні кореляційно-регресійного аналізу слід ураховувати такі вимоги до вхідних даних для отримання вірогідних результатів:

– статистична сукупність даних має включати достатню кількість спостережень або однорідних об’єктів (не менш як п’ять);

– статистичні дані мають бути відібрані за однакові періоди часу або для однорідних об’єктів;

– при проведенні множинної регресії кількість факторів має бути мен-шою (хоча б на два), ніж кількість спостережень.

Процедура проведення регресійного аналізу включає наступні кроки.

Крок 1. Визначаються фактори, що впливають на результативний по-казник, і відбираються найістотніші з них.

Основні правила відбору факторів:

– результуючим фактором визначається якісний показник певної сфери діяльності;

– враховується наявність причинно-наслідкового зв’язку між показниками, що дає змогу розкрити сутність явищ;

– відбираються найбільш значущі фактори, оскільки охопити всі обставини впливу неможливо;

– фактори мають бути кількісними;

– не включаються фактори, зв’язок яких має функціональний характер.

Крок 2. Визначається рівняння множинної регресії та оцінюються одер-жані результати. Для цього кроку можна використати інструмент Регрессия або статистичні функції.

Для роботи з інструментом Регрессия вхідні дані треба розмістити з дотриманням таких вимог:

– масиви даних розміщуються у стовпчиках;

– перший рядок – назви показників;

– перший стовпчик – залежні змінні, інші – незалежні.

Регресія використовується для аналізу впливу на залежну змінну значень однієї або більше незалежних змінних-факторів.

Параметрами діалогового вікна Регрессия є:

– вхідний інтервал Y – посилання на діапазон результативного показ-ника; діапазон має складатися з одного стовпця;

– вхідний інтервал X – посилання на діапазон факторів-ознак. Максимальне число вхідних показників дорівнює 16;

– мітки – параметр для автоматичного формування назв показників;

– рівень надійності – забезпечує включення у вихідний діапазон рівня надійності до 95 %, що вводиться за замовчуванням;

– константа-нуль – вказує, що лінія регресії проходить через початок координат;

– вихідний діапазон – посилання на ліву верхню клітинку вихідного діапазону активного робочого листа, нового робочого листа або нової робочої книги. Можна задати ім’я нового робочого листа, де вихідний діапазон почнеться з клітинки А1;

– залишки – дає змогу включити залишки у вихідний діапазон;

– стандартні залишки – забезпечує можливість включення стандартних залишків у вихідний діапазон;

– графік залишків – діаграма залишків для кожної незалежної змінної;

– графік підбору – діаграма даних, що спостерігаються, а також прог-нозованих значень для кожної незалежної змінної;

– графік нормальної імовірності – діаграма нормальної імовірності.

У результаті виконання зазначених команд автоматично буде побудовано таблиці регресійного аналізу.

Таблиця Регрессионная статистика включає такі показники для оцінювання адекватності моделі:

– коефіцієнт детермінації;

– індекс кореляції;

– значення коефіцієнта детермінації при збільшенні кількості спостережень;

– стандартну помилку;

– кількість спостережень.

Таблиця Дисперсионный анализ має таку структуру:

– df – кількість степенів вільності;

– SS – дисперсія;

– MS – дисперсія/кількість степенів вільності;

– F – оцінка зв’язку між незалежними факторами і залежною змінною;

– Значимость F – рівень значущості, що відповідає визначеному F – чим він нижче, тим кращий зв’язок.

Таблиця Параметры модели має таку структуру:

– коэффициенты – значення параметрів моделі;

– стандартная ошибка – стандартна помилка параметрів рівняння;

– t-статистика – коефіцієнт (стандартна помилка);

– Р-значение – значущість для t-статистики;

– межі довірчих інтервалів для коефіцієнтів рівняння регресії при різ-них рівнях значущості.

Остання таблиця включає прогнозовані значення і залишки.

4.2. Хід роботи

1. Занести вхідні дані до листа Excel. Таблицю назвати “Вхідні дані для проведення регресійного аналізу”. У першому стовпчику головки таблиці за-значається показник залежної змінної, в інші заносяться заголовки незалежних змінних. Значення вхідних даних заноситься в порядку зростання років для всіх факторних ознак. Вхідні дані для проведення лабораторної роботи обираються згідно отриманого варіанта (додаток А).

2. З допомогою пакета Анализ данных, з меню Сервис застосувати інструмент Регрессия. У діалоговому вікні поля Входной интервал Y вставити інтервал залежних змінних. У діалоговому вікні поля Входной интервал Х вставити значення інтервалу однієї з незалежних змінних. У полі Оглавление по-ставити мітку. У полі Выходной интервал занести значення клітинки, розміщеної на кілька рядків нижче попереднього запису використовуваного листа. Поставити мітки у полях Остатки та Стандартные остатки.

3. Зробити висновки на основі отриманих результатів із застосуванням критеріїв, наведених у п. “Основні поняття та терміни лабораторної роботи”.