Тема 9 Статистические оценки параметров распределения
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Из теоретических соображений и по виду гистограммы или полигона частот установлено, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону. Тогда необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, то есть параметры, определяющие нормальное распределение. Для того чтобы статистическая оценка, найденная по данным выборки, давала «хорошее» приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять следующим трем требованиям: быть несмещенной, эффективной и состоятельной. Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: . Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема . Точечная оценка представляет из себя приближённое значение оцениваемого параметра и определяется одним числом. Выборочной средней называют среднее арифметическое взвешенное значение признака выборочной совокупности и вычисляется по формуле: . Выборочная средняя есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной средней . Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят выборочную дисперсию, которую вычисляют по формуле и среднее квадратическое отклонение , которое в математической статистике часто называют выборочным стандартом. Выборочную дисперсию и отклонение вычисляют для больших выборок . Для малых выборок вычисляют исправленную дисперсию : и исправленное стандартное отклонение: Вычисление выборочных характеристик , DB, и часто называют первичной статистической обработкой результатов наблюдений. Для сравнения различных вариационных рядов служит коэффициент вариации или : тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше.
Вычислим точечные характеристики для примеров 1 и 2 темы 8. Пример 1 (продолжение). Составим расчетную таблицу 1. Таблица 1
Вычислим: , , , , , . По расчетам видно, что для выборки объема в 100 единиц выборочный стандарт и исправленный стандарт отличаются незначительно.
Пример 2. Получено распределение людей по росту: Таблица 1
Построить гистограмму частот по данному распределению. Определить точечные оценки параметров распределения. Решение:Найдем плотности частот , где ширина частичных интервалов h = 152–146=6: Таблица 2
Гистограмма частот. ni/h
От интервального ряда перейдем к ряду дискретному, найдя для каждого частичного интервала середину: х 1=(146+152):2=149 и т. д. Составим расчетную таблицу 2.
Вычислим среднее выборочное : см – средний рост людей данной группы; выборочную дисперсию : и выборочный стандарт : cм характеризует абсолютный разброс выборочных данных вокруг среднего. Коэффициент вариации : характеризует относительный разброс выборочных данных вокруг среднего.
|