Решение. а) Вспомним теорему о полной вероятностиЕсли событие А может осуществляться только при выполнении одного из событий В 1, В 2 ,..., Bn, которые образуют полную группу несовместных событий, то P (A) вычисляется по формуле:
По условиям данной задачи, результат второго испытания (т.е. вынимание шаров из второй урны) зависит от того, какие шары были переложены из первой урны. Здесь возможны три случая: B1 = { оба шара белые }, B2 = { оба шара черные }, B3 = { один белый, один черный шар }. Очевидно, что события B1, B2 и B3 несовместны и образуют полную группу. Их вероятности равны
Условные вероятности события А={шары одного цвета}, равны
Применяя формулу полной вероятности, получим
б) Вспомним формулу Байеса:
По условиям данной задачи, результат До стрельбы возможны следующие предположения (гипотезы):
Эти события образуют полную группу несовместных событий. Пусть А – поражение мишени одним попаданием, тогда ее вероятность можно найти по формуле полной вероятности:
= 0,12×0+ 0,32×0+ 0,48×1+ 0,08×1 = 0,56. Здесь учтено, что при осуществлении событий В1 и В2 событие А – невозможно, при осуществлении событий В3 и В4 событие А – достоверное. В результате, по формуле Байеса находим:
Задание 4. Решить задачи, используя формулу Бернулли и теоремы Муавра-Лапласа. а) Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных? б) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей: 1) 356 окажутся стандартными; 2) более 350 деталей окажутся стандартными. Решение. а) Проведем n испытаний Бернулли, т.е. что все n испытаний независимы и вероятность появления события А в каждом отдельном взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность P (A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P (A)= p, а вероятность противоположного события P (
Это есть формула Бернулли. По условию задачи, вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным равна q =0,02. Вероятность того, что изделие окажется стандартным равна
= 5×0,985×0,021 + 1×0,986×0,020» 0,9943. б) Применим к случаю 1 локальную теорему Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико (обычно nt50), при этом npq ‡1, то справедлива приближенная формула
где Ввиду важности функции j(x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция j(x) четная, т.е. j(– x)=j(x). Согласно условию задачи: n =400, m =356, p =0,9, q =0,1. Поскольку n >100 и npq =36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем
После этого находим значение функции j(–0,6667)=0,31945. В результате, получаем
Применим теперь к случаю 2 локальную теорему Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности P n (k 1£ m £ k 2) того, что число успехов заключено в пределах от k 1 до k 2, справедливо приближенная формула
где Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(– x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы. Обратите внимание, что 0£Ф(x)£0,5. В нашем случае k 1=300, k 2=400:
Задание 5. Найти закон распределения дискретной случайной величины. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: x 1 и x 2, причем x 1 < x 2. Вероятность того, что Х примет значение x 1 равно 0,6. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М[ X ] = 1,4 и дисперсию D[ X ] = 0,24. Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, поэтому вероятность того p 2, что X примет значение x 2, равна 1–0,6=0,4. Запишем закон распределения дискретной случайной величины X:
Для отыскания x 1 и x 2 составим два уравнения. По определению M[ X ] = Учитывая, что по условию М[ X ] = 1,4, запишем первое из уравнений:
Принимая во внимание, что по условию D[ X ] = 0,24, и используя равенство
напишем второе уравнение:
В результате получается следующая система уравнений:
Выразив x 1 из первого уравнения и подставив его во второе, получим квадратное уравнение
Отсюда находим два решения:
Задание 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения.
Найти: а) параметр k; б) математическое ожидание; в) дисперсию. Решение. Найдем плотность распределения f(x)=F'(x):
Параметр k определим из условия
В нашем случае
Таким образом, плотность распределения имеет вид
Найдем теперь математическое ожидание
Найдем теперь дисперсию, для этого предварительно вычислим
Тогда
Задание 7. Известны математическое ожидание а =165 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность: а) попадания этой величины в заданный интервал Решение. Плотность функции нормального распределения имеет вид
Функция нормального распределения имеет вид
Однако часто вместо функции нормального распределения используется функция Лапласа F(x):
где Вероятность того случайная величина X, описываемая нормальным распределением, примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), имеет вид
В нашем случае получим
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, вычисляется по формуле:
В нашем случае получим
Задание 8. Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационного ряда:
а) Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания отклонения с доверительной вероятностью g=0,95. б) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод вычислений, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности. в) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности при уровне значимости a=0,05. Решение. а) Вычислим основные числовые характеристики данного вариационного ряда, используя упрощенный метод расчета моментов. Для этого вместо интервального ряда введем дискретный, записав вместо интервалов только середины интервалов, а результаты занесем в таблицу. По упрощенному методу вводим новую переменную
Далее, в соответствии с данными таблицы получаем
Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, т.е. она дает заниженное значение дисперсии генеральной совокупности. Поэтому вместо выборочной дисперсии используют исправленную выборочную дисперсию
В данном случае
Тогда среднеквадратичное отклонение равно
Доверительным интервалом (a,b) для статистического параметра q называется интервал, который с заданной вероятностью g "накрывает" неизвестное значение параметра, т.е.
Доверительный интервал для математического ожидания a, в случае нормального распределения с неизвестным средним квадратичным отклонением (точнее, известна только его оценка), имеет вид
где t – коэффициент, связанный с распределением Стьюдента и определяемый объемом выборки n и доверительной вероятностью g. Коэффициент t обычно находится из таблиц по заданным степеням свободы k=n –1 и доверительной вероятности g (или уроню значимости a=1–g). В рассматриваемом случае n =90, следовательно k =89. Тогда, при g=0,95, по таблицам для распределения Стьюдента, находим,
В результате получаем
Отсюда
б) Найдем теперь выборочные значения начальных и центральныхмоментов:
По упрощенному методу, сначала вычисляется центральный момент для новой переменной mk (u), а затем находят моменты для заданной переменной mk (x) по формуле
Между начальными и центральными моментами существует взаимосвязь:
Здесь нужно иметь в виду, что Найдем начальные моменты по данным таблицы:
Тогда
Зная моменты 3-го и 4-го порядков, можно вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс:
Асимметрия положительна, следовательно, распределение характеризуется незначительной правосторонней асимметрией. Отрицательный эксцесс указывает на более плосковершинное распределение по сравнению с нормальным. Определим теперь значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса. Для этого вычислим погрешность вычислений по формулам
Посмотрим теперь, попадают ли найденные значения в "трехсигмовый" интервал:
Из полученных неравенств следует, что коэффициент асимметрии и эксцесс не значимо отличаются от нуля и есть все основания полагать, что распределение генеральной совокупности является нормальным. в) Критерием согласия называется критерий поверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. В соответствии с критерием Пирсона сначала вычисляется величина
где pi – вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения. Заметим, что c2-распределение можно применять только при достаточно большом объеме выборки (n t50) и достаточно больших частотах (ni ³5). Ту группу вариационного ряда, для которых последнее условие не выполняется, объединяют с соседней и, соответственно, уменьшают число интервалов. В рассматриваемом случае мы должны объединить интервалы 1 и 2, а также 9 и 10 (см. таблицу).
В предположении, что имеет место нормальное распределение, были оценены два параметра этого распределения:
где
– функция Лапласа, значения которой табулированы и приводятся в таблицах. Следует отметить, что функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. F(– x)=–F(x). Из расчетной таблицы видно, что
Теперь найдем критическое значение
Поскольку Задание 9. Методом наименьших квадратов подобрать функцию
Решение. В соответствие с методом наименьших квадратов (МНК) следует подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы функция
приняла минимальное значение. Необходимым условием экстремума функции Q является равенство нулю всех частных производных по неизвестным параметрам. Чтобы упростить вычисления вместо искомой функции рассмотрим ее логарифм
Тогда функция Q будет иметь вид
Составляем систему уравнений
Отсюда находим
Далее, составим таблицу вычислений:
По данным таблицы находим
Таким образом, искомая функция имеет вид
Изобразим на рисунке исходные данные (квадратики) и график искомой кривой:
|
.
, 
, 
.
, 
, 
.
.
.
.
) – буквой q, т.е. P (
.
,
, 
.
.
.
,
, 
– функция Лапласа.
, 
,
= x 1 p 1+ x 2 p 2+... + xnpn.
.
,
, или 
.
.
и 
(отсюда получаем также, что 
и 
). По условию 
, поэтому задаче удовлетворяет только первое решение. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид
.
.
.
.
.
.
.
,
– функция Лапласа.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
, 
.
.
, 
.
, 
.
, 
.
,
.
, 
.
,
.
, 
.
,
1
9
и 
. Если изучаемое распределение подчинено нормальному распределению, то вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (xi < X < xi +1), находится по формуле
,
.
. Поскольку у предполагаемой модели были неизвестны оба параметра, поэтому k =2; при расчете критерия использовались восемь интервалов r =8. Таким образом, число степеней свободы n= r –1– k =5. При заданном уровне значимости из таблиц для c2-распределения находим
.
, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. что исходное распределение является нормальным.
по табличным данным и сделать чертеж.
.
.
и 
.
, 
,
.
