Методы численного интегрирования

Простейшие методы переоборудования основаны на приближенной замене интегрирующего звена с передаточной функцией его дискретной моделью. Это позволяет получить дискретную передаточную функцию цифрового регулятора, сделав соответствующую замену в передаточной функции непрерывного регулятора .

Непрерывный и дискретный интеграторы

Пусть и — входной и выходной сигнал непрерывного интегратора. Если известно значение , то . Такое звено приближенно заменяется дискретным интегратором, для которого , где — некоторое правило построения следующего значения выхода по предыдущим значениям входа и выхода. Для решения этой задачи можно использовать любой метод численного интегрирования. Мы рассмотрим методы прямоугольников и трапеций.

Метод Эйлера (а) и метод обратных разностей (б)

При использовании метода Эйлера имеем .

Используя оператор (сдвиг вперед), получаем .

Таким образом, переоборудование по методу Эйлера сводится к замене .

Аналогично можно построить правило замены для метода обратных разностей: .

Из курса численных методов известно, что методы прямоугольников дают низкую точность. Более совершенен метод трапеций: .

Метод трапеций

Формула интегрирования по методу трапеций приводит к замене ,

которая называется преобразованием Тастина (или Тустена).

Для повышения точности аппроксимации можно использовать более сложные методы, например, замены , , соответствующие методам интегрирования Симпсона и Уэддля. Их главный недостаток состоит в том, что порядок переоборудованного регулятора будет выше, чем порядок непрерывного.