Идеальные датчики

Что будет, если в задаче оптимизации предположить, что датчик идеально измеряет сигнал (то есть, принять )? Если выполнить синтез, передаточная функция оптимального регулятора может получиться, например, такая: .

В ней степень числителя выше, чем степень знаменателя. Разделив числитель на знаменатель, можно выделить дифференцирующее звено с передаточной функцией . Вроде бы здесь нет ничего плохого. Однако при построении частотной характеристики такого регулятора (см. ЛАФЧХ на рисунке справа, красная линия) становится видно, что он усиливает высокочастотные сигналы. Во-первых, это приводит к тому, что сигнал управления будет очень большим и в реальной системе будет превышено его максимально допустимое значение. Во-вторых, любой высокочастотный шум измерения (который всегда присутствует) будет усиливаться регулятором, который начнет «раскачивать» систему. Таким образом, с точки зрения практического использования получилось плохое решение, хотя и «оптимальное», решение.

Чтобы избежать подобных проблем и сделать регулятор нечувствительным к высокочастотным помехам измерительной системы, в задаче оптимизации добавляют сигнал помехи типа «белого шума». Если принять в той же задаче мы получаем регулятор .

Поскольку степень числителя меньше степени знаменателя (функция строго правильная), его амплитудно-частотная характеристика (синяя линия на рисунке) «скатывается» вниз на высоких частотах. Поэтому регулятор будет нечувствителен к помехам измерений. Для обеспечения «ската» частотной характеристики регулятора на высоких частотах (за рубежом его называют roll-off), передаточная функция фильтра должна иметь равные степени числителя и знаменателя, то есть, модель помехи должна содержать составляющую типа «белого шума». Если в системе несколько измеряемых сигналов, это относится к каждому из них.