Контрольная работа. 1. Методические указания к курсовому проектированию «Экономика и управление системами теплоэнергоснабжения» для студентов специальности «Энергообеспечение1. Методические указания к курсовому проектированию «Экономика и управление системами теплоэнергоснабжения» для студентов специальности «Энергообеспечение предприятий» и экономических специальностей ЭУП, ФиК, МО всех форм обучения: ВолгГАСУ, Волгоград, 2008г. Контрольная работа «линейная алгебра» Вычислить определители а) Решение.Этот определитель вычислим по правилу диагоналей. Приписываем справа к определителю первый и второй столбцы. Перемножаем элементы, стоящие на главной диагонали и складываем это произведение с аналогичными произведениями элементов, стоящих на диагоналях, параллельных главной. Затем к произведению элементов, стоящих на побочной диагонали, прибавляем аналогичные произведения элементов, стоящих на диагоналях, параллельных побочной. Затем от первой суммы вычитаем вторую. Это и будет искомый определитель.
Ответ: Задача 1. Решить систему по формулам Крамера: . запишем определитель системы Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей
Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей
.
По формулам Крамера получаем решение . Ответ: . Контрольные варианты к задаче 1. Решить системы по формулам Крамера:
Контрольная работа «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» Задача 1. Если известны координаты точек и , то координаты вектора Разложение этого вектора по ортам : Длина вектора находится по формуле а направляющие косинусы равны Орт вектора Пример 1. Даны точки Разложить вектор по ортам и найти его длину, направляющие косинусы, орт вектора . Найдем координаты векторов: и Вектор Контрольные варианты к задаче 1. Даны точки А, В и С. Разложить вектор по ортам Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора .
Задача 2. Если даны векторы то скалярное произведение . Тогда ; проекция вектора на направление вектора равна , условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом: Условие коллинеарности векторов: . Пример 2. Даны вершины треугольника Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС. С Внутренний угол при вершине А образован векторами , А В
Тогда Проекция на направление вектора : Контрольные варианты к задаче 2 Даны точки А, В и С из задания 1. Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС. Задача 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах можно найти по формуле а площадь треугольника, построенного на этих векторах: где Определитель второго порядка вычисляется по формуле: .
Пример 3. Даны вершины треугольника Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С. . Находим векторы
Векторное произведение
Длина полученного вектора равна: Так как где длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, . Контрольные варианты к задаче 3 Даны точки А, В и С из задания 1, которые являются вершинами . Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.
Задача 4. Если даны координаты , то смешанное произведение векторов вычисляют по формуле
.
Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на векторах находятся с помощью смешанного произведения векторов:
, Если > 0, то тройка векторов - правая. Если < 0, то тройка левая. Если = 0, то векторы компланарны. Пример 4. Дан тетраэдр построенный на векторах и Найти высоту, проведенную из вершины на грань ABD. Объем равен произведению площади основания на высоту:
находится также по формуле , поэтому . Вычислим векторное произведение =
Тогда Контрольные варианты к задаче 4 1. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , и . 2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами , 3. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами: 4. Найти объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках и 5. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами . 6. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках и 7. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках и 8.Найти объем треугольной пирамиды, образованной векторами . 9. Найти объем треугольной пирамиды, образованной векторами 10. Найти объем треугольной пирамиды, образованной векторами .
Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ; . 1. Найти длину вектора . 2. Найти угол между векторами . 3. Найти проекцию вектора на вектор . 4. Найти площадь грани АВС. 5. Найти объем пирамиды ABCD. Координаты векторов: 1. Длина вектора
2.
3. Проекция вектора на вектор
4.
5.
Контрольные варианты к задаче 5 Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется найти: 1) длины векторов 2) угол между векторами 3) проекцию вектора на вектор 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды ABCD.
З а д а ч а 6 Общее уравнение плоскости имеет вид: , где - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости). Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и определяется равенством
,т.к. Векторы лежат в одной плоскости, т.е. их смешанное произведение равно нулю . Точка является текущей,т.е. произвольной точкой плоскости. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле .
|