Студопедия — Основные правила дифференцирования
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основные правила дифференцирования


12345Следующая ⇒




 

2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x)

3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)

4) =

5) (CU(x))¢=C(U(x))¢

 

 

1. C¢=0  
2. x’=1  
3. (xn)¢=nxn-1 (un)¢=nun-1u¢
4. (cosx)¢=-sinx (cosu)¢=-sinu u¢
5. (sinx)¢=cosx (sinu)¢=cosu u¢
6. (tgx)¢= (tgu)¢= u¢
7. (ctgx)¢=- (ctgu)¢=- u¢
8. (arctgx)¢= (arctgu)¢= u¢
9. (arcctgx)¢=- (arcctgu)¢=- u¢
10. (arcsinx)¢= (arcsinu)¢= u¢
11. (arccosx)¢=- (arcosu)¢=- u¢
12. (ax)¢=axlna (au)¢=aulna u¢
13. (ex)¢=ex (eu)¢=euu¢
14. (logax)¢= (logau)¢= u¢
15. (lnx)¢= (lnu)¢= u¢

 

Пример 2. .

Пример 3. Для найти

Воспользуемся формулой:

(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x), где .Тогда для , .

Пример 4. Для найти .

Воспользуемся формулой:

= , где .

Пример 5. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

.

Пример 6. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

.

Пример 7. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

Пример 8. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

Задача 1. Найти производные функций:

1) .

.

Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим

Ответ: .

 

2) .

.

Можно представить , где . Причем , в результате получим

Ответ: .

3) .

.

После подстановок получим

.

Ответ: .

 

4) .

, если воспользоваться правилом .

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 1.

Найти производные функций:

1. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
   
2. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

3. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

4. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

5. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

6. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
7. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

 

8. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

9. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
 
10. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
 
11. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
               

 

12. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

13. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
   
14. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
15. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
           

 

 

16. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

17. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
   
18. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

19. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

20. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

21. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

22. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
23. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

 

24. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

25. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
 
26. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .    
 
27. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
                 

 

 

28. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

29. 1) ; 2) ; 3) ;  
4) ; 5) ; 6) ;  
7) ; 8) ; 9) ;  
10) .    
     
30. 1) ; 2) ; 3) ;  
4) ; 5) ; 6) ;  
7) ; 8) ; 9) ;  
   
10) .    
             

 

 

Задача 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную и приравняем ее нулю.

при .

 

На тех интервалах, где , функция убывает; где , функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции и , интервалы убывания функции и .

По рисунку видно, что в точках и функция принимает свои минимальные значения, а при - максимальное. Найдем эти значения:

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 2.

Исследовать на экстремум:

1. 1) ; 2) .
2. 1) ; 2) .
3. 1) ; 2) .
4. 1) ; 2) .
5. 1) ; 2) .
6. 1) ; 2) .
7. 1) ; 2) .
8. 1) ; 2) .
9. 1) ; 2) .
10. 1) ; 2) .
11. 1) ; 2) .
12. 1) ; 2) .
13. 1) ; 2) .
14. 1) ; 2) .
15. 1) ; 2) .
16. 1) ; 2) .
17. 1) ; 2) .
18. 1) ; 2) .
19. 1) ; 2) .
20. 1) ; 2) .
21. 1) ; 2) .
22. 1) ; 2) .
23. 1) ; 2) .
24. 1) ; 2) .
25. 1) ; 2) .
26. 1) ; 2) .
27. 1) ; 2) .
28. 1) ; 2) .
29. 1) ; 2) .
30. 1) ; 2) .

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения.

при ;

.

Найдем значение функции только при так как .

.

Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел; это 10. Теперь наименьшее – это 3.

Ответ:

Контрольные варианты к задаче 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. на отрезке .
2. на отрезке .
3. на отрезке .
4. отрезке .
5. на отрезке
6. на отрезке
7. на отрезке .
8. на отрезке .
9. на отрезке .
10. на отрезке .
11. на отрезке .
12. на отрезке .
13. на отрезке .
14. на отрезке .
15. на отрезке .
16. на отрезке .
17. 12345Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 361. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия