ЗАДАЧА 7

 

При анализе электромагнитных процессов в сердечниках транс­форматоров и электромагнитах переменного тока, а также в участ­ках магнитопроводов электрических машин, пронизываемых перемен­ными магнитными потоками, необходимо учитывать, что перечисленные элементы конструкций собирают из листов электротехни­ческой стали, разделенной изоляционными промежутками. Распреде­ление переменного магнитного потока и потерь, обусловленных вих­ревыми токами, индуцированными потоками в заказанных элементах, в значительной степени определяют параметры устройства в целом. Анализ указанного распределения можно произвести на примере од­ного листа.

Дан плоский лист из электротехнической стали толщиной 2 а и высотой h. Удельная электропроводность стали g = 10⁷ См/м, а ее магнитная проницаемость равна m>>m₀ = 4 p×10^-7 Гн/м. Лист распо­ложен вдоль линий векторов напряженности H и индукции B = m H магнитного поля (рис. 7.1), синусоидально изменяющегося во времени с частотой При этом действующее значение Н на обеих поверхностях листа равно H ₀ . Используя данные табл. 7.1, требуется:

1) получить (вывести, доказать) каждое из приведенных ниже со­отношений (7.1)-(7.18);

2) рассчитать и показать на рис. 7.1 в масштабе толщины листа глубину проникновения s электромагнитного поля;

3) рассчитать потери Р на вихревые токи в листе длиной 1 м и модуль магнитного потока Ф, проходящего по листу;

4) рассчитать и построить график распределения модуля индукции В в сечении листа в зависимости от координаты z (расчеты выполнить для точек z = 0, ±а /2, ±а);

5) рассчитать аналогично п. 3 потери Р ₀ и поток Ф₀ в случае, когда магнитное поле является постоянным (f = 0), и сравнить их с величи­нами Р и Ф;

6) рассчитать и построить на графике п. 4 аналогичную зависи­мость от координаты z индукции B ₀в случае, когда магнитное поле является постоянным (f = 0).

 

Таблица 7.1

 

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента
Н 0 , А/м
m / (1000×m0)	1,8	2,1	2,6	2,8	3,2	3,1	2,9	2,5	2,3	2,0
Значения Н 0и m / (1000×m0)выбираются по последней цифре шифра
f, Гц
2 а, мм	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
Значения f и 2 а выбираются по предпоследней цифре шифра
h, мм
Значение h выбираетcя по третьей от конца цифре шифра

Рис. 7.1

 

 

 

 

Рис. 7.1

 

Указания

 

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать мате­риал, изложенный в [1], с. 147...155 или [2], с. 382…385.

Векторы H и B имеют лишь по одной составля­ющей Н_х и В_х по оси х, т. е.

, , , . (7.1)

Обычно высота листа h >> 2 а (рис. 7.1). В этом случае линии век­тора J плотности вихревого тока можно считать прямыми, парал­лельными оси у. Следовательно, и вектор E = J g напряженности электрического поля будет иметь лишь одну составляющую по оси у:

, , , . (7.2)

Электромагнитное поле в листе описывается уравнениями Макс­велла в комплексной форме:

, , , (7.3)

где и - векторы напряженностей магнитного и электрического полей в комплексной форме.

C учетом (7.1) и (7.2) уравнения (7.3), записанные в прямоугольных координатах х, y, z, принимают вид

, . (7.4)

Отсюда следует уравнение

, (7.5)

где , . (7.6)

Общее решение уравнения (7.5) имеет вид

, (7.7)

где и - комплексные постоянные интегрирования.

Согласно рис. 7.1 напряженность (7.7) должна удовлетворять граничным условиям

, (7.8)

из которых могут быть найдены значения и :

. (7.9)

Разрешив систему двух алгебраических уравнений (7.9) относительно и , а затем подставив найденные выражения в (7.7), получим

, , (7.10)

где - гиперболический косинус.

C учетом (7.10) из первого уравнения (7.4) следует

, , (7.11)

где - гиперболический синус.

Выражение (7.10) позволяет определить комплекс магнитной индукции:

. (7.12)

Следовательно, искомый модуль индукции

. (7.13)

С учетом рис. 7.1 и формул (7.10), (7.12) для комплекса магнитного потока можно записать уравнения

, , (7.14)

где - гиперболический тангенс.

Следовательно, искомый модуль потока

, . (7.15)

Модули от гиперболических функций в (7.13) и (7.15) могут быть найдены с помощью известных формул:

, (7.16)

Для искомых потерь Р можно записать выражение

. (7.17)

Отсюда с учетом (7.11) и (7.16) следует

. (7.18)

Требуемые выражения для В ₀, Ф₀ и Р ₀определяются как пределы выражений (7.13), (7.15) и (7.18) при w ® 0, когда, согласно (7.6) ®0 и

к ® 0. Так как sh (0)= sin(0)= 0, то при этом в (7.15) сле­дует внести под знак модуля у и затем найти предел выраже­ния по правилу Лопиталя с учетом того, что sh ¢( a)= ch ( a). Аналогичным образом и в (7.18) для выражения [ sh (2 ka) - sin(2 ka)]/ k следует также применить правило Лопиталя.