Министерство образования Республики Беларусь 2 страница

 

1. a = 2i - 3j + k, b = j + 4k, с = 5i + 2j - 3k.

 

2. а = 3i + 4j + k, b = i - 2j + 7k, с = 3i - 6j + 21k.

 

3. a = 2i - 4j - 2k b = 7i + 3j c = 3i + 5j - 7k.

 

4. а= -7i + 2k, b = 2i - 6j + 4k, c = i-3j + 2k.

 

5. а = -4i + 2j - k, b = 3i + 5j - 2k, c = j + 5k.

 

6. a = 3i - 2j + k, b = 2j - 3k, c = -3i + 2j - k.

 

7.a = 4i – j + 3k, b = 2i + 3j - 5k, c = 7i + 2j + 4k.

8. a = 4i + 2j - 3k, b = 2i + k, с = -12i - 6j + 9k.

 

9. a = -i + 5k, b = -3i + 2j + 2k, с = -2i - 4j + k.

 

10. a = 6i - 4j + 6k, b = 9i - 6j + 9k, с = i - 8k.

 

11. a = 5i - 3j + 4k, b = 2i - 4j - 2k, c = 3i + 5j - 7k.

 

12. а = -4i + 3j - 7k, b = 4i + 6j - 2k, с = 6i + 9j - 3k.

 

13. а= -5i + 2j - 2k, b = 7i - 5k, c = 2i + 3j - 2k.

 

14. a = -4i - 6j + 2k, b = 2i + 3j - k, c = -i + 5j - 3k.

 

15. a = -4i + 2j - 3k, b = -3j + 5k, с = 6i + 6j -4k.

 

16. а = -3i + 8j, b = 2i + 3j - 2k, c = 8i + 12j - 8k.

 

17. a = 2i - 4j - 2k, b = -9i + 2k, c = 3i + 5j - 7k.

 

18. a = 9i - 3j + k, b = 3i - 15j + 21k, c = i - 5j + 7k.

 

19. а = -2i + 4j - 3k, b = 5i + j - 2k, c = 7i + 4j – k.

 

20. а = -9i + 4j - 5k, b = i - 2j + 4k, c = -5i + 10j - 20k.

 

21. a = 2i - 7j + 5k, b = -i + 2j - 6k, c = 3i + 2j - 4k.

 

22. a = 7i - 4j - 5k, b = i - 11j + 3k, с = 5i + 5j + 3k.

 

23. a = 4i - 6j - 2k, b = -2i + 3j + k, c = 3i - 5j + 7k.

 

24. a = 3i – j + 2k, b = -i + 5j - 4k, c = 6i - 2j + 4k.

 

25. а = -3i – j - 5k, b = 2i - 4j + 8k, c = 3i + 7j – k.

 

26. а = -3i + 2j + 7k, b = i - 5k, c = 6i + 4j – k.

 

27. a = 3i – j + 5k, b = 2i - 4j + 6k, c = i - 2j + 3k.

28. a = 4i - 5j - 4k, b = 5i - j, c = 2i + 4j - 3k.

 

29. а = -9i + 4k, b = 2i - 4j + 6k, c = 3i - 6j + 9k.

 

30. a = 5i - 6j - 4k, b = 4i + 8j - 7k, c = 3j - 4k.

 

Задание 1.5

 

Даны четыре точки А ₁(), А ₂(), A₃() и А ₄(). Составить уравнения:

а) плоскости А ₁ А ₂ А ₃;

б) прямой А ₁ А ₂;

в) прямой А ₄ М, перпендикулярной к плоскости А ₁ А ₂ А ₃;

г) прямой А ₃ N, параллельной прямой А ₁ А ₂;

д) плоскости, проходящей через точку А ₄ перпендикулярно к прямой А ₁ А ₂.

Вычислить:

е) синус угла между прямой А ₁ А ₄ и плоскостью А ₁ А ₂ А ₃.

ж ) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А ₁ А ₂ А ₃.

 

1. А₁(3, 1, 4), А₂(-1, 6, 1), А₃(1, 1, 6), А₄(0, 4, -1).

 

2. А₁(3, 5, 4), А₂(5, 8, 3), А₃(1, 2, -26), А₄(-1, 0, 2).

 

3. А₁(2, 4, 3), А₂(1, 1, 5), А₃(4, 9, 3), А₄(3, 6, 7).

 

4. А₁(9, 5, 5), А₂(-3, 7, 1), А₃(5, 7, 8), А₄(6, 9, 2).

 

5. А₁(0, 7, 1), А₂(2, -1, 5), А₃(1, 6, 3), А₄(3, -9, 8).

 

6. А₁(5, 5, 4), А₂(1, -1, 4), А₃(3, 5, 1), А₄(5, 8, -1).

 

7. А₁(6, 1, 1), А₂(4, 6, 6), А₃(4, 2, 0), А₄(1, 2, 6).

 

8. А₁(7, 5, 3), А₂(9, 4, 4), А₃(4, 5, 7), А₄(7, 9, 6).

 

9. А₁(6, 8, 2), А₂(5, 4, 7), А₃(2, 4, 7), А₄(7, 3, 7).

 

10. А₁(4, 2, 5), А₂(0, 7, 1), А₃(0, 2, 7), А₄(1, 5, 0).

 

11. А₁(4, 4, 10), А₂(7, 10, 2), А₃(2, 8, 4), А₄(9, 6, 9).

 

12. А₁(4, 6, 5), А₂(6, 9, 4), А₃(2, 10, 10), А₄(7, 5, 9).

 

13. А₁(3, 5, 4), А₂(8, 7, 4), А₃(5, 10, 4), А₄(4, 7, 8).

 

14. А₁(10, 9, 6), А₂(2, 8, 2), А₃(9, 8, 9), А₄(7, 10, 3).

 

15. А₁(1, 8, 2), А₂(5, 2, 6), А₃(5, 7, 4), А₄(4, 10, 9).

 

16. А₁(6, 6, 5), А₂(4, 9, 5), А₃(4, 6, 11), А₄(6, 9, 3).

 

17. А₁(7, 2, 2), А₂(-5, 7, -7), А₃(5, -3, 1), А₄(2, 3, 7).

 

18. А₁(8, -6, 4), А₂(10, 5, -5), А₃(5, 6, -8), А₄(8, 10, 7).

 

19. А₁(1, -1, 3), А₂(6, 5, 8), А₃(3, 5, 8), А₄(8, 4, 1).

 

20. А₁(1, -2, 7), А₂(4, 2, 10), А₃(2, 3, 5), А₄(5, 3, 7).

 

21. А₁(4, 2, 10), А₂(1, 2, 0), А₃(3, 5, 7), А₄(2, -3, 5).

 

22. А₁(2, 3, 5), А₂(5, 3, -7), А₃(1, 2, 7), А₄(4, 2, 0).

 

23. А₁(5, 3, 7), А₂(-2, 3, 5), А₃(4, 2, 10), А₄(1, 2, 7).

 

24. А₁(4, 3, 5), А₂(1, 9, 7), А₃(0, 2, 0), А₄(5, 3, 10).

 

25. А₁(3, 2, 5), А₂(4, 0, 6), А₃(2, 6, 5), А₄(6, 4, -1).

 

26. А₁(2, 1, 6), А₂(1, 4, 9), А₃(2, -5, 8), А₄(5, 4, 2).

 

27. А₁(2, 1, 7), А₂(3, 3, 6), А₃(2, -3, 9), А₄(1, 2, 5).

 

28. А₁(2, -1, 7), А₂(6, 3, 1), А₃(3, 2, 8), А₄(2, -3, 7).

 

29. А₁(0, 4, 5), А₂(3, -2, 1), А₃(4, 5, 6), А₄(3, 3, 2).

 

30. А₁(3, -1, 2), А₂(-1, 0, 1), А₃(1, 7, 3), А₄(8, 5, 8).

 

Задание 1.6

 

Решить следующие задачи

 

1. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М (-2, 7, 3) параллельно плоскости х - 4 у + 5 z - 1 = 0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М ₁ М ₂ перпендикулярно к этому отрезку, если М ₁(1, 5, 6), М ₂(-1, 7, 10).

3. Найти расстояние от точки М (2; 0; -0,5) до плоскости 4 х - 4 у + 2 z + 17 = 0.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2, -3, 5) параллельно плоскости Оху.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку

А (2, 5, -1).

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (2, 5, -1), В (-3, 1, 3) параллельно оси Оу.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (3, 4, 0) и прямую ^{х - 2} = ^{у - 3} = ^{z + 1} .

^{1 2 2}

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ^{х - 3} = ^у = ^{z - 1} и ^{х + 1} = ^{у - 1} = ^z.

^{2 1 2 2 1 2}

9. Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 3 х - у - 7 z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку А (3, 2, -5).

10. Составить уравнение плоскости в <<отрезках>>, если она проходит через точку М (6, -10, 1) и отсекает на оси Ох отрезок а = -3, а на оси Оz - отрезок с = 2.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2, 3, -4) параллельно двум векторам а = (4, 1, -1) и b = (2, -1, 2).

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (1,1,0), В (2,-1,-1) перпендикулярно к плоскости 5 х + 2 у + 3 z -7= 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2 х - 3 у + z - 1 = 0 и х - у + 5 z +3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (3, -1, 2), В (2, 1, 4) параллельно вектору а = (5, -2, -1).

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору , если А (5, -2, 3), В (1, -3, 5).

16. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М (2, -3, 3) параллельно плоскости 3 х + у - 3 z = 0.

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, -1, 2) перпендикулярно к отрезку М ₁ М ₂, если М ₁(2, 3, -4), М ₂(-1, 2, -3).

 

 

18. Показать, что прямая параллельна плоскости

х + 3 у - 2 z + 1 = 0, а прямая х = t + 7, у = t - 2, z = 2 t + 1 лежит в этой плоскости.

19. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку А (3, -4, 1) параллельно координатной плоскости Охz.

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, -5, 2).

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (1, 2, 3) и N (-3, 4, -5) параллельно оси Оz.

22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2, 3, -1) и прямую х = t - 3, у = 2 t + 5, z = -3 t + 1.

23. Найти проекцию точки М (4, -3, 1) на плоскость х - 2 у - z - 15 = 0.

24. Определить, при каком значении В плоскости х - 4 у + z - 1 = 0 и 2 х + Ву + 10 z - 3 = 0 будут перпендикулярны.

25. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (2, -3, -4) и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

26. При каких значениях n и А прямая перпендикулярна

к плоскости Ах + 2 у - 2 z - 7 = 0?

27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (2, 3, -1), В (1, 1, 4) перпендикулярно к плоскости х - 4 у + 3 z + 2 = 0.

28. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям х + 5 у - z + 7=0 и 3 х - у + 2 z - 3=0.

29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (2, 3, -5) и N (-1, 1, -6) параллельно вектору а = (4, 4, 3).

30. Определить, при каком значении С плоскости 3 х - 5 у + Сz - 3 = 0 и х - 3 у + 2 z + 5 = 0 будут перпендикулярны.

 

Задание 1.7

 

Решить следующие задачи

 

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3 х - 2 у - 7 = 0 и х + 3 у - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

2. Найти проекцию точки А (-8, 12) на прямую, проходящую через точки В (2, -3) и С (-5, 1).

3. Даны две вершины треугольника АВС: А (-4, 4), В (4, -12) и точка М (4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2 у - х = 3.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (2, -3) и точку пересечения прямых 2 х - у = 5 и х + у = 1.

6. Доказать, что четырёхугольник АВСD - трапеция, если А (3, 6), В (5, 2), С (-1, -3), D (-5, 5).

7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А (3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В (2, 5), С (1, 0).

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (-2, 1) параллельно прямой MN, если М (-3, -2), N (1, 6).

9. Найти точку, симметричную точке М (2, -1) относительно прямой х - 2 у + 3 = 0.

10. Найти точку О пересечения диагоналей четырёхугольника АВСD, если А (-1, -3), В (3, 5), С (5, 2), D (3, -5).

11. Через точку пересечения прямых 6 х -4 у +5=0, 2 х +5 у+ 8=0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

12. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4 х + у = 12, его высот ВН 5 х - 4 у = 12 и АМ х + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника АВС.

13. Даны две вершины треугольника АВС: А (-6, 2), В (2, -2) и точка пересечения его высот Н (1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

14. Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины А и В, если А (-4, 2), В (3, -5), С (5, 0).

15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А (2, 3), В (0, -3), С (6, -3).

16. Составить уравнение высоты, проведённой через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ - 2 х - у - 3 = 0, АС - х + 5 у - 7 = 0, ВС - 3 х - 2 у + 13 = 0.

17. Дан треугольник с вершинами А (3, 1), В (-3, -1) и С (5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведённой из вершины С.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2 х + 5 у - 8 = 0 и 2 х + 3 у + 4 = 0.

19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3 х + 5 у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3 у = 0, х - у - 4 = 0, 3 х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, если А (4, 6), В (-4, 0), С (-1, -4).

22. Через точку Р (5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А (-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45⁰; б) 90⁰; в)0⁰.

24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А (-6, -6) и В (-3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

25. Через точку пересечения прямых 2 х - 5 у - 1 = 0 и х + 4 у - 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками А (4, -3) и В (-1, 2) в отношении l = 2/3.

26. Известны уравнения двух сторон ромба 2 х - 5 у - 1 = 0 и 2 х - 5 у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х +3 у -6=0. Найти уравнение второй диагонали.

27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А (-3, 1), В (7, 5) и С (5, -3).

28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А (-1, 1) под углом 45⁰ к прямой 2 х + 3 у = 6.

29. Даны уравнения высот треугольника АВС 2 х -3 у +1=0, х + 2 у + 1 = 0 и координаты его вершины А (2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2 у = 0, х - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М (3, -1). Найти уравнения двух других сторон.

 

Задание 1.8

 

Построить поверхности и определить их вид (название).

 

1. а) 4 х ² - у ² - 16 z ² + 16 = 0; б) х ² + 4 z = 0.

 

2. а) 3 х ² + у ² + 9 z ² - 9 = 0; б) х ² + 2 у ² - 2 z = 0.

 

3. а) -5 х ² + 10 у ² - z ² + 20 = 0; б) у ² + 4 z ²= 5 х ².

 

4. а) 4 х ² - 8 у ² + z ² + 24 = 0; б) х ² - у = -9 z ².

 

5. а) х ² - 6 у ² + z ² = 0; б) 7 х ² - 3 у ² - z ²= 21.

 

6. а) z = 8 - х ² - 4 у ²; б) 4 х ² + 9 у ² + 36 z ²= 72.

 

7. а) 4 х ² + 6 у ² - 24 z ² = 96; б) у ² + 8 z ²= = 20 х ².

 

8. а) 4 х ² - 5 у ² - 5 z ² + 40 = 0; б) у = 5 х ² + 3 z ².

 

9. а) х ² = 8(у ² + z ²); б) 2 х ² + 3 у ² - z ²= 18.

10. а) 5 z ² + 2 у ² = 10 х; б) 4 z ² - 3 у ² - 5 х ² + 60 = 0.

 

11. а) х ² - 7 у ² - 14 z ² - 21 = 0; б) 2 у = х ² + 4 z ².

 

12. а) 6 х ² - у ² + 3 z ² - 12 = 0; б) 8 у ² + 2 z ² = х.

 

13. а) -16 х ² + у ² + 4 z ² - 32 = 0; б) 6 х ² + у ² - 3 z ² = 0.

 

14. а) 5 х ² - у ² - 15 z ² + 15 = 0; б) х ² + 3 z = 0.

 

15. а) 6 х ² + у ² + 6 z ² - 18 = 0; б) 3 х ² + у ² - 3 z = 0.

 

16. а) -7 х ² + 14 у ² - z ² + 21 = 0; б) у ² + 2 z ² = 6 х ².

 

17. а) -3 х ² + 6 у ² - z ² - 18 = 0; б) х ² - 2 у = - z ².

 

18. а) 4 х ² - 6 у ² + 3 z ² = 0; б) 4 х ² - у ² - 3 z ² = 12.

 

19. а) z = 4 - х ² - у ²; б) 3 х ² + 12 у ² + 4 z ² = 48.

 

20. а) 4 х ² + 5 у ² - 10 z ² = 60; б) 7 у ² + z ² = 14 х ².

 

21. а) 9 х ² - 6 у ² - 6 z ² + 1 = 0; б) 15 у = 10 х ² + 6 у ².

 

22. а) х ² = 5 (у ² + z ²); б) 2 х ² + 3 у ² - z ² = 36.

 

23. а) 4 х ² + 3 у ² = 14 х; б) 3 х ² - 4 у ² - 2 z ² + 12 = 0.

 

24. а) 8 х ² - у ² - 2 z ² - 32 = 0; б) у - 4 z ² = 3 х ².

 

25. а) х ² - 6 у ² + z ² - 12 = 0; б) х - 3 z ² = 9 у ².

 

26. а) 2 х ² - 3 у ² - 5 z ² + 30 = 0; б) 2 х ² + 3 z = 0.

 

27. а) 7 х ² + 2 у ² + 6 z ² - 42 = 0; б) 2 х ² + 4 у ² - 5 z = 0.

 

28. а) -4 х ² + 12 у ² - 3 z ² + 24 = 0; б) 2 у ² + 6 z ² = 3 х.

 

29. а) 3 х ² - 9 у ² + z ² + 27 = 0; б) z ² - 2 у = -4 х ².

 

30. а) 27 х ² - 63 у ² + 21 z ² = 0; б) 3 х ² - 7 у ² - 2 z ² = 42.

 

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2

 

Дифференцирование и исследование функций

 

Задание 2.1

 

Найти .

1. .

 

2. .

 

3. .

 

4. .

 

5. .

 

6. .

 

7. .

 

8. .

 

9. .

10. .

 

 

12. .

 

13. .

 

14. .

 

15. .

 

 

 

18. .

 

 

 

22.

 

 

 

 

 

27.

 

28.

 

29.

 

30.

 

Задание 2.2

 

Найти

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

 

21.

 

22.

 

23.