Решение Крамеровских систем уравнений. Метод Гаусса для решения произвольных систем алгебраических уравнений.3. Линейное пространство. Базис, размерность. Линейные операторы. Пространства R1, R2, R3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. 4. Скалярное, векторное и смешанное произведение в R3. Евклидово пространство. Ортогональный базис. Угол между двумя векторами. Метод координат. Расстояние между точками в пространстве. Уравнение линии на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой и плоскости.
Тема 2. Введение в математический анализ
Логическая символика. Основные числовые множества. Элементарные функции, их свойства и графики. Предел функции и его свойства. Непрерывность функции в точке и классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. Техника вычисления пределов. Бесконечно большие и малые функции. Сравнение бесконечно малых. Глобальные свойства непрерывных функций. Приближенное решение уравнений (методом половинного деления). Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Основные правила дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функции. Понятие о производных высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл.
Тема 3. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков
Экстремумы функций. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа). Оценка погрешности вычислений. Формула Тейлора. Правило Лопиталя. Примеры. Условия монотонности функции. Признаки точек экстремума и перегиба. Выпуклость функции и ее достаточное условие. Асимптоты функции и общая схема исследования функции и построения графиков. Тема 4. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора. Экстремум функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Обзор методов определения локальных и глобальных экстремумов функций нескольких переменных. Эмпирические формулы. Выбор параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.
Тема 5. Неопределенный интеграл
21. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие приемы интегрирования: интегрирование заменой переменной и по частям. Интегрирование рациональных функций и функций, допускающих рационализацию. Тема 6. Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Приемы вычисления определенного интеграла. Теорема существования определенного интеграла. Понятие о численных методах нахождения определенных интегралов. Приложения определенного интеграла в геометрии и механике. Несобственные интегралы первого и второго рода. Понятие о двойном интеграле.
Тема 7. Ряды
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. 28. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Примеры. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов (обзор). Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Применение рядов к приближенным вычислениям.
Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Задачи, приводящие к ОДУ. Порядок ОДУ, общее и частное решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные ОДУ, интегрируемые в квадратурах (в полных дифференциалах, однородные, линейные первого порядка). Линейные ОДУ второго порядка. Линейно зависимые и независимые решения. Теорема о структуре общего решения. 36. Решение линейных ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами: со специальной правой частью и методом вариации произвольных постоянных.
|
