Задача №2. Расчет устойчивости систем.

Расчет устойчивости систем.

Рассчитать устойчивость системы, заданной следующей структурной схемой (рис 22.) и построить кривую D-разбиения по коэффициенту усиления САУ в разомкнутом состоянии.

 

 

Рис. 22

 

W₁(P)=k₁; W₂(P)= ;W₃(P)= ; W₄(P)= .

Параметры звеньев: k₁=12; k₂=80; k₃=0.15; k₄=2; T₂=0.5; T₃=10; T₄=2.

 

1. Критерий Гурвица.

 

Запишем эквивалентную передаточную функцию системы

W_зам(р) = .

Запишем передаточную функцию системы, разомкнутой по главной обратной связи.

W_раз(p) = W₁(P) ×W₂(P) ×W₃(P) ×W₄(P) = .

Характеристическое уравнение системы.

D(p)=1+ W_раз(p)=0 ® D(p)=1+ = 0;

 

K_э+(Т₂Т₃р³+Т₂р²+Т₄р+р)(Т₃²р²+2Т₃р+1)=0; Kэ=К₁К₂К₃К₄;

 

K_э + Т₂Т₄Т₃² р⁵ + (2Т₂Т₄Т₃ + Т₂Т₃² + Т₄Т₃²) р⁴ + (Т₄Т₂ + 2Т₂Т₃ + 2Т₄Т₃ + Т₃²) р³ +
(Т₂ + Т₄ + 2Т₃) р² + р = 0 ® .

 

Подставляя численные значения, получаем:

.

 

Т.к. все коэффициенты положительны, то первое условие Гурвица выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов характеристического уравнения и вычислим определители:

	22.5
		22.5

 

D₁=270>0; D₂=270•151-100•22,5=38520>0

 

		22.5
D3=				= 917325+0+7776000-0-72900-50625 = 8569800>0
			22.5

 

		22.5
D4 =					= – 7,96*108 <0
		22.5

Т.к. D₄ меньше нуля то система неустойчива.

 

2. Критерий Рауса.

 

Коэффициенты первого столбца таблицы должны быть положительны.

 

100р⁵+270р⁴+151 р³+ 22,5р⁴+ р+288=0

 

№ п/п	Значение вспомогательного коэффициента	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
	----------------
	----------------

Т.к. с₁₅<0, то система неустойчива.

 

3. Критерий Михайлова.

 

Уравнение характеристического вектора получим из характеристического уравнения заменой оператора р®jw.

D(p)= 100р⁵+270р⁴+151 р³+ 22,5р²+ р+288=0;

D(jw)=100(jw)⁵+270 (jw)⁴+151(jw)³+22,5(jw)²+jw+288 = 100jw⁵+270jw⁴-151jw³- -22,5jw²+jw+288 = (288-22.5w²+270w⁴)+jw(1-151w²+100w⁴)=Re(w)+Im(w).

Изменяя w в интервале 0<w<¥, рассчитываем Re(w) и Im(w) и заносим в таблицу 1.

Таблица 1

w		0.1	0.5				¥
Re		287.9		535.5			¥
Im		-0.05	-15.3	-50			¥

 

Т.к. годограф начинается на положительном отрезке вещественной оси (рис. 23.), но не обходит 5 квадрантов, то система неустойчива.

Рис. 23

 

4. Критерий Найквиста.

 

Определяем устойчивость по АФЧХ системы, разомкнутой по главной обратной связи.

W_раз(p)= W₁(P)* W₂(P)* W₃(P) * W₄(P)= .

Комплексный коэффициент передачи САУ получим, заменяя p®jw

W_раз(jw)= .

Выведем действительную и мнимую части домножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженные множители.

;

Re= ;
Im= .

Задаваясь значениями w из промежутка 0 £ w < ¥, рассчитываем Re(w) и Im(w).

 

Таблица 2

w		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9		¥
Re	-6336	-1334	-115	3,72	12,4	9,1	5,95	3,8	2,5	1,65	0,056
Im	-¥					12,2	5,33	2,43	1,13	0,52	-0,026

 

По данным таблицы строим АФЧХ системы (рис. 24).

 

 

Рис. 24

 

Система неустойчива т.к. при дополнении годографа дугой с бесконечным радиусом до положительного отрезка вещественной оси АФЧХ охватывает критическую точку с координатами (–1; 0j).

Определим устойчивость, используя ЛАЧХ и ФЧХ системы.

 

Уравнение для построения ЛАЧХ системы:

 

20 lg|W(jw)| = 20 lgК_э – 20 lgw – 10 lg(1+T₂²w²) – 20 lg(1+T₃²w²) – 10 lg(1+T₄²w²)

 

20 lg K_э = 20 lg 288 = 49,19

 

Асимптотическую ЛАЧХ легко построить по ЛАЧХ типовых звеньев, суммируя их. Для этого рассчитывают частоты излома .

Уравнение для построения ФЧХ системы

j(w) = – 90 – arctg(wT₂) – 2 arctg(wT₃) – arctg(wT₄) =
= 90 – arctg(0,5w) – 2 arctg(10w) – arctg(2w).

Построим ФЧХ системы.

 

w		0.1	0.5		¥
j(w)	-90	-194	-306	-385	-450

 

САУ будет устойчива в замкнутом состоянии, если ЛАЧХ пересекает ось частот раньше, чем ФЧХ пересекает линию -180° (рис. 25.).

Значит система неустойчива.

Рис. 25

5. Метод D-разбиений по коэффициенту усиления.

 

100р⁵+270р⁴+151р³+22,5р²+р+288 = 0, К_сис= 288.

 

Выражаем коэффициент усиления системы из характеристического уравнения системы:

К_сис= -100р⁵-270р⁴-151 р³- 22,5р²- р.

Заменим p®jw

 

К_сис= -100(jw)⁵-270 (jw)⁴-151(jw)³-22,5(jw)²-jw =
-j100w⁵-270w⁴+j151w³+j22,5w²-jw = (-270w⁴ + 22.5w²)+j(-100w⁵ + 151w³ – w).

 

По этому выражению, изменяя 0<w<¥, строим кривую, которая затем дополняется зеркальным отображением относительно оси Х,и заштриховываем (рис. 26.) в соответствии с правилами.

 

w		0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07
Re		0,002	0,009	0,02	0,035	0,055	0,078	0,104
Im		-0,01	-0,02	-0,03	-0,03	-0,03	-0,03	-0,02
w	0,08	0,09	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
Re	0,133	0,165	0,198	0,468	-0,16	-3,31	-11,3	-26,9
Im	-0	0,019	0,05	0,976	3,534	8,24	15,25	24,24
w	0,7	0,8	0,9		1,1	1,2	1,3	¥
Re	-53,8	-96,2	-159	-248	-368	-527	-733	-¥
Im	34,29	43,74	50,13		38,83	10,9	-40,8	-¥

 

Рис. 26

 

Претендентом на область устойчивости является область 1.

Определим корни характеристического уравнения (определим устойчивость) при К, взятом из этой области, по критерию Гурвица.

 

100 р⁵ + 270 р⁴ +151 р³ + 22,5 р² + р + К=0

 

К=0.1 – получим все отрицательные корни.

 

Таким образом, САУ будет устойчива, если 0<K<0,14.

 

Критический коэффициент усиления системы можно определить, используя любой из критериев. D-разбиение позволяет выделить области с различным расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра (в нашем случае К).

 

Задача №3

Выбрать структуру и параметры последовательного КУ.

 

Пусть система имеет следующую передаточную функцию в разомкнутом состоянии:

 

и параметры: К=60, Т₁=1 с, Т₂ = 0.5 с, Т₃ = 0.1 с.

 

Построим ЛАЧХ и ФЧХ системы, для этого рассчитаем частоты излома:

 

Уравнение ФЧХ системы

 

j(w) = - 90 – arctg wT₁ – arctg wT₂ – arctg wT₃

 

Построим ЛАЧХ и ФЧХ системы (рис. 27).

Рис. 27

Система с астатизмом первого порядка, поэтому ЛАЧХ в области низких частот, до первой сопрягающей частоты имеет наклон -20 дБ/дек.

Продолжение этого наклона до оси частот дает частоту равную добротности системы по скорости, т.е. равную коэффициенту усиления. На частоте w=1 ордината ЛАЧХ равна 20lg(K), т.е. 20lg(K)=35,56 дБ. Проведем вертикальные линии, соответствующие частотам излома. После первой сопрягающей частоты наклон ЛАЧХ увеличивается на -20дБ/дек, т.е. становится равным -40 дБ/дек. Аналогично увеличиваются наклоны после каждой последующей частоты излома. По построенной ЛАЧХ определяем частоту среза – пересечение ЛАЧХ с осью частот, w_ср»5 1/с.

j(w) = – 90 – arctg 5×1 – arctg 5×0,5 – arctg 5×0,1 > - 180,

система неустойчива.

Для выбора структуры и параметров КУ последовательного типа построим ЛАЧХ скорректированной системы. По заданию коэффициент усиления должен быть меньше в 2 раза, как и частота среза; w_{ср ск}=2,5 1/с, К_ск=D_ск=30. Следовательно, на частоте w=1 ордината скорректированной системы равна:

20lg(30) = 29,56» 30 дБ.

Через w_{ср ск}=2,5 проводим ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек. и через ординату на w=1, равную 30 дБ также линию с наклоном -20 дБ/дек. Сопряжение этих двух участков выполняем наклоном -40 дБ/дек – в областях низких частот и высоких частот. Протяженность участка с наклоном -20 дБ/дек на частоте среза должна быть не меньше одной декады, чтобы обеспечить запасы устойчивости. Рекомендуется выбирать соседние частоты сопряжения для скорректированной ЛАЧХ на расстоянии не менее одной трети декады.

ЛАЧХ скорректированной системы желательно сформировать так, чтобы как можно больше частот сопряжения исходной и скорректированной систем совпадали. Частоты излома для ЛАЧХ скорректированной системы определяем графически и записываем соответствующую ей передаточную функцию и уравнение для j(w).

w₁^’=0.8 (1/с) T₁^’=1,25 c;

w₂^’=w₁=1 T₂^’=1 c;

w₃^’=w₃=10 T₃^’=0.1 c;

w₄^’=30 T₄^’=0.03 c;

 

 

 

j(w) = – 90 – arctg 1,25×w + arctg w – arctg 0,1×w - 2 arctg 0,03 w;

j(w_ср) = – 90 – arctg 2,5×1,25× + arctg 2,5 – arctg 0,25 - 2 arctg 0,075 =-116,7.

 

Строим j(w) и проверяем запас по фазе (Δj=180 - j(w_ср)). Если запас по фазе не удовлетворяет условию, увеличиваем протяженность участка с наклоном -20 дБ/дек на частоте среза.

Передаточная функция КУ

 

 

,

 

По ЛАЧХ L_ку(w) определяется простым вычитанием ординат L_ск(w) – L_исх(w) = L_ку(w).

По виду L_ку(w) подбираем корректирующие четырехполюсники и рассчитываем их параметры (R, C). Наше КУ можно представить тремя участками, изображенными на рис. 28.

Рис. 28

 

Подбираем для них соответствующую электрическую схему (справочные таблицы КУ).

Для L₁:

 

(из справочника)

;

;

Выбираем С (из условий габаритов) и рассчитываем R₁ и R₂ .

С=50 мкФ.

Рис. 29

 

Для L₂:

 

;

;

;

 

Рис. 30

 

Аналогично выбираем С и рассчитываем R₁ и R₂, для этой и последующей цепочки.

Для L₃ выбираем такую же цепочку, как и для L₂, но другими будут параметры:

с с

Соединяя последовательно эти цепи, получим коэффициент преобразования их, равный . Наше КУ должно иметь коэффициент преобразования равный 0,5, следовательно, надо поставить согласующие усилители с общим коэффициентом усиления:

.

Таким образом, общая электрическая схема КУ:

Рис. 31

Задача №4

 

Для скорректированной системы (в задаче №3) рассчитать и построить переходную характеристику h(t) и определить показатели качества.

 

Переходная характеристика системы – это реакция ее на единичное ступенчатое воздействие. Уравнение переходной характеристики можно получить, решая дифференциальное уравнение, используя теоремы разложения Хевисайда и изображение переходной функции. Теоремы Хевисайда гласят следующее.

1. Если изображение Лапласа некоторой функции представляет собой отношение полиномов и является правильной дробью, то оригинал этой функции определяется выражением

,

 

где - изображение переходной функции,

 

, p_i – корни характеристического уравнения системы.

2. Если изображение Лапласа некоторой функции можно представить как , то оригинал ее определится следующим выражением:

 

Если найдены корни характеристического уравнения, уравнение h(t) легко определяется.

Можно промоделировать систему или использовать стандартное матобеспечение для решения дифференциального уравнения n-го порядка.

По переходной характеристике определяют t_р – время регулирования, h% - перерегулирование. Точность системы можно оценить, используя теорему о пределах и вычислив h(¥).

 

 

t_р – время от начала переходного процесса до момента,
когда отклонение

 

Рис. 32

 

2B=5% ×h(:)

.