Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

1 - 10. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин пирамиды ABCD. Постройте чертеж и решите следующие задачи:

а) докажите, что система векторов линейно независима;

б) постройте вектор , где M и N - середины ребер AD и BC соответственно, найдите его координаты и его разложение по базису ;

в) найдите длину ребра AB;

г) вычислите величину угла между ребрами AB и AC;

д) напишите уравнение прямой АВ;

е) составьте уравнение плоскости АВС;

ж) напишите уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС.

 

1. A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,-3,5).

2. A(2,0,-1), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3).

3. A(-3,1,1), B(0,-4,-1), C(5,1,3), D(4,6,-2).

4. A(1,1,4), B(2,1,2), C(1,-1,2), D(6,-3,8).

5. A(2,1,-4), B(-3,-5,6), C(0,-3,-1), D(-5,2,-8).

6. A(3,0,1), B(1,3,0), C(4,-1,2), D(-4,3,5).

7. A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1).

8. A(2,-2,1), B(1,2,-1), C(1,0,2), D(2,1,0).

9. A(1,-1,1), B(2,1,-1), C(-2,0,3), D(2,-2,-4).

10. A(0,1,-1), B(-3,0,1), C(1,2,0), D(1,-1,2).

 

 

11 – 20. При выполнении плана товарооборота магазин должен продать товары трех видов в количествах а₁₁, а₁₂, а₁₃ (тыс. штук) соответственно. Если продавать эти товары в количествах а₂₁, а₂₂, а₂₃ (тыс. штук) соответственно, то план товарооборота будет перевыполнен в полтора раза. Если же товары продать в количествах а₃₁, а₃₂, а₃₃ (тыс. штук) соответственно, то выполнение плана составит лишь 75%.

Постройте математическую модель задачи и определите стоимость единицы товара каждого вида, если план товарооборота составляет Q тыс. руб.

Решите задачу:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом с использованием обратной матрицы.

План товарооборота магазина Q (тыс. руб.) и значения а_ij (в виде матрицы) даны ниже.

11. Q = 16, ; 16. Q = 28, ;

 

12. Q = 18, ; 17. Q = 36, ;

 

13. Q = 20, ; 18. Q = 42, ;

 

14. Q = 24, ; 19. Q = 32, ;

 

15. Q = 80, ; 20. Q = 12, .