Задача №13

Механическая система состоит из грузов 3 и 4, ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней м, м, и однородного цилиндрического катка 5 (рис.17).

Рис.17

Тела системы соединены друг с другом нерастяжимыми и невесомыми нитями, намотанными на ступени шкивов 1 и 2. Под действием сил тяжести тел и силы система приводится в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 2 действует постоянный момент сил сопротивления 0,8Н∙м. Массы тел: , , , , . Массу шкива 1 считать равномерно распределённой по его внешнему ободу. Радиус инерции шкива 2: Коэффициент трения скольжения грузов 3 и 4 о плоскости .

Определить угловую скорость шкива 1 в тот момент времени, когда перемещение тела 4 станет равным .

Решение. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы

,

где , потому что механическая система начинает движение из состояния покоя, работа внутренних сил , т.к. механическая система состоит из абсолютно твердых тел.

Кинетическая энергия механической системы в её конечном положении складывается из кинетических энергий тел:

. (10)

Пусть угловая скорость вращающегося тела 1 вокруг оси в конечном положении. Кинетическая энергия , где момент инерции шкива с равномерно распределённой массой по внешнему ободу.

Шкив 2 имеет угловую скорость . Кинетическая энергия шкива равна . Момент инерции .

Тела 3 и 4 движутся поступательно. Кинетические энергии этих тел будут , .

Каток 5 совершает плоскопараллельное движение. Кинетическая энергия , где скорость центра катка, мгновенная угловая скорость катка в конечном положении. Момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс, равен , где радиус катка.

Выразим скорости тел через искомую угловую скорость :

, ,

, , .

Найдём кинетическую энергию системы (10):

.

Найдём сумму работ внешних сил на перемещениях:

.

Выразим все перемещения через заданное перемещение :

0,333м, 0,667м, 3,33м.

Сумма работ внешних сил 60∙(1+0,5) + 60∙0,707∙(1– 0,2) –

– 40 ∙ 0,5 ∙ 0,333 – 0,8 ∙ 3,33 – 20 ∙ (0,866 – 0,2 ∙ 0,5) ∙ 0,667 = 104,4 Н∙м.

Из равенств 0,655 104,4 найдём искомую угловую скорость.

Ответ: 12,6 рад./с.