МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1Пример 1. В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что: а) все детали дефектные (событие А); б) только одна деталь дефектная (событие В); в) все три детали годные (событие С); г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D). Решение. Используем классическое определение вероятности. а) Событие А = {выбранные три детали дефектные}; Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. - общее число способов выбрать 3 детали из имеющихся 10 деталей. (имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей) . б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта}; , где - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей Следовательно, . в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные} . г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие . = { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как , то . Пример 2. Два студента (Петров и Иванов) договорились о встрече в определенном месте между 12.00 и 13.00 часами. Пришедший первым до истечения часа ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Построить множество элементарных исходов по описанию эксперимента и подмножество, соответствующее событию А = {встреча состоится}. Найти вероятность этого события. Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Наблюдаемый результат- пара координат (х, у), где х - время прихода Петрова, а у – время прихода Иванова. Время исчисляется в минутах, начиная с 12.00 часов
. Точки (х,у) заполняют квадрат стороной 60. Встреча состоится, если (пришедший первым ждет не более 20 минут). Неравенство с модулем заменим двойным неравенством , . Решения неравенства - это точки нижней полуплоскости, ограниченной прямой . Совокупность решений неравенства образует верхнюю полуплоскость с границей . Решения системы неравенств – это точки области, полученной пересечением полуплоскостей. Т.к. , , то точки, когда состоится встреча, заполняют фигуру А (показана штриховкой). Используем геометрическое определение вероятности: . Площадь фигуры . Здесь - площадь не заштрихованных треугольников. Пример 3. Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Отказы элементов являются независимыми и совоку4пными событиями. Известна надежность pk k- го элемента p1=p2=0.7; p3=0.8; p4=0.9. Найти вероятность надежности схемы P(A). Решение. Разобьем схему на блоки, состоящие из последовательных соединений. Блок I состоит из элемента 1. Блок II состоит из параллельного соединения элементов 2 и 3. Блок III – из элемента 4. Вероятность того, что схема работает, равна P(A)=PI·PII·PIII. PI – вероятность того, что I блок исправен. PII· - вероятность того, что II блок исправен. PIII - вероятность того, что III блок исправен. PI = p1 Вероятность того, что II блок исправен: Вероятность того, что III блок исправен: Искомая вероятность что цепь сработает: Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы): Н1={на первую игру выбирают два новых мяча}. Н2={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}. Н3={на первую игру выбирают два игранных мяча}. Вероятности гипотез соответственно равны: , , . Проверка: - выполняется: . Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие: , , Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:
Пример 5. а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений. Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}. Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}. Пусть событие В5={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В6= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В7 ={взойдет ровно 7 тюльпанов}. Вероятность события , состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли: , где . В частности, , , . В данном случае имеем . По теореме сложения для несовместных событий получаем . в) Посажено 100 луковиц. Вероятность всхода 80%. Какова вероятность, что взойдут не менее 75, но не более 90. Решение. Испытания проводятся по схеме Бернулли. Если число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Лапласа: , где - функция Лапласа, значение которой берем из таблицы. , . По условию n=100, p=0,8, q=0,2, k1=75, k2=90. Следовательно, Имеем: (Здесь учтено, что функция Лапласа нечетная ). Пример 6. Составить закон распределения случайной величины Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики Решение: ДСВ Х -отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события {X=2} равна P(X=2)=p1= 2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны: , , . Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:
Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1 Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание: . Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение: Функция распределения имеет вид: График функции распределения имеет вид:
Пример 7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью при , при . Найти вероятность того, что за время t=25 часов элемент не откажет, если известно что . Решение. - непрерывная случайная величина-время безотказной работы устройства, которое работает с момента х=0, а в момент х происходит отказ. Длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с функцией распределения . - это вероятность отказа элемента за время длительностью . Вероятность безотказной работы за время длительностью – это вероятность противоположного события. Эта функция называется функцией надежности: . Вероятность безотказной работы за х=t=25 часов равна Пример 8. Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х1, х2, х3…х10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.
Решение. Найдем выборочную среднюю: Вычислим выборочную дисперсию . , n=10. Исправленная выборочная дисперсия: . . Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток: , где – функция Лапласа. В данном случае принимаем следующие значения параметров: = 100 тыс.руб., тыс.руб., тыс. руб., тыс. руб. (нет ограничений сверху). Имеем: По таблице находим: , следовательно, .
|