Для заочного отделения.

№ 1

Розглянемо рівновагу балки АЕ. Введемо систем координат Аxy. Звільняємо балку від в’язей та вводимо реакції в’язей: .

Для знаходження реакції стержня записуємо рівняння моментів відносно осі :

З цього рівняння знаходимо Н.

Відповідь: Н.

 

№ 2

Розглянемо рівновагу балки АВ. Введемо систем координат Аxy. Звільняємо балку від в’язей та вводимо реакції в’язей: .

Для знаходження реакції в опорі записуємо рівняння моментів відносно осі :

.

 

Знаходимо Н.

Відповідь: Н.

 

№ 3

Розглянемо рівновагу балки АВ з ниткою та вантажем. Введемо систем координат Вxy. Зображуємо силу . Звільняємо систему від в’язей та вводимо реакції в’язей: . Для знаходження реакцій записуємо рівняння моментів відносно осі :

Знаходимо Н.

Відповідь: Н.

 

№ 4

 

Розглянемо рівновагу балки АС з ниткою та вантажем. Введемо систем координат Аxy. Зображуємо силу . Звільняємо систему від в’язей та вводимо реакції в’язей: . Для знаходження реакцій записуємо рівняння моментів відносно осі

З першого рівняння знаходимо

З третього рівняння знаходимо Н.

З другого рівняння знаходимо

 

Відповідь: , , Н.

 

№ 5

Розглянемо рівновагу балки АС. Введемо систем координат Аxy.. Звільняємо систему від в’язей та вводимо реакції в’язей: . Для знаходження реакції в опорі С записуємо рівняння рівноваги – суму моментів відносно точки А:

З рівняння знаходимо

Н.

Відповідь: Н.

 

№ 6

 

Розглянемо рівновагу балки АВ. Введемо систему координат Аxy.. Звільняємо систему від в’язей і вводимо реакції в’язей: .

Для знаходження реакцій записуємо рівняння рівноваги балки:

З першого рівняння знаходимо

З другого рівняння знаходимо Н.

З третього рівняння знаходимо .

 

Відповідь: , Н, .

 

№ 7

Розглянемо рівновагу балки АВ. Введемо систем координат Аxy.. Звільняємо систему від в’язей та вводимо реакції в’язей: .

Для знаходження моменту в защемленні А записуємо рівняння рівноваги балки – суму моментів відносно точки А:

З рівняння знаходимо

.

Відповідь: .

 

№ 8

Нормальне прискорення точки знаходиться за формулою , де - швидкість точки. За натуральним способом задання руху . Знаходячи , отримаємо . В момент часу маємо , в момент часу маємо . Тобто м/с².

Відповідь: 8 м/с².

 

№ 9

 

Прискорення точки знаходиться за формулою . Дотичне прискорення точки дорівнює . Нормальне прискорення точки дорівнює , де - швидкість точки. За натуральним способом задання руху . Знаходячи м/с, отримаємо м/с² . Прискорення точки дорівнює м/с².

Відповідь: м/с².

 

№ 10

 

Доосьове прискорення точки, яка знаходиться на відстані від точки до осі обертання, дорівнює , де - кутова швидкість обертання тіла, Доосьове прискорення точки, яка знаходиться на відстані від точки до осі обертання, дорівнює тому маємо . Якщо прийняти =2 м/с², м, м, то за цією формулою знаходимо м/с².

Відповідь: м/с².

 

 

№ 11

Обертальне прискорення точки в момент часу дорівнює , де - відстань від точки до осі обертання. Обертальне прискорення точки в момент часу дорівнює , тобто . Тому м/с².

Відповідь: м/с².

 

№ 12

 

Прискорення точки знаходиться за формулою . Обертальне прискорення точки дорівнює , де - кутове прискорення тіла, - відстань від точки до осі обертання. Доосьове прискорення точки дорівнює , де - кутова швидкість обертання тіла. Маємо м/с².

Відповідь: м/с².

 

№ 13

 

Миттєвий центр швидкостей шатуна АВ будемо знаходити на перетині перпендикулярів до напрямів швидкостей двох точок шатуна АВ. Швидкість точка А, яка належить також кривошипу ОА, буде перпендикулярна до кривошипа ОА. Проводимо пряму І₁І₁, перпендикулярну до вектора . Вектор швидкості точки В завжди напрямленийвздовж напрямних, які обмежують рух повзуна – проводимо пряму І₂І₂, перпендикулярну до напрямних. Перетин прямих І₁І₁ та І₂І₂ дає миттєвий центр швидкостей – точку Р, яка співпадає з точкою В. Тому м.

Відповідь: м.

 

Завдання № 14

Знайдемо миттєвий центр швидкостей колеса – він знаходиться в точці Р дотику колеса з поверхнею. Вектор точки В буде напрямлений перпендикулярно до прямої ВР в напрямі обертання колеса. Величину швидкості точки В знайдемо з пропорції , де R – радіус колеса. Тобто

м/c.

Відповідь: м/c.

 

Завдання № 15

Спочатку знайдемо миттєвий центр швидкостей шатуна АВ. Миттєвий центр швидкостей шатуна АВ будемо знаходити на перетині перпендикулярів до напрямів швидкостей двох точок шатуна АВ. Швидкість точка А, яка належить також кривошипу ОА, буде напрямлена перпендикулярно до кривошипа ОА в напрямі обертання кривошипа. Проводимо пряму І₁І₁, перпендикулярну до вектора . Вектор швидкості точки В завжди напрямленийвздовж напрямних, які обмежують рух повзуна – проводимо пряму І₂І₂, перпендикулярну до напрямних. Паралельні прямі І₁І₁ та І₂І₂ не перетинаються, тобто миттєвого центра швидкостей нема. Це означає що шатун АВ в цей момент часу здійснює миттєво-поступальний рух, за яким всі точки тіла мають однакові швидкості. Таким чином, . Швидкість точки А, як точки кривошипа ОА, що обертається навколо нерухомої осі, знайдемо за формулою м/c..Таким чином м/c.

Відповідь: м/c.

 

Завдання № 16

 

Спочатку знайдемо миттєвий центр швидкостей шатуна АВ. Миттєвий центр швидкостей шатуна АВ будемо знаходити на перетині перпендикулярів до напрямів швидкостей двох точок шатуна АВ. Швидкість точка А, яка належить також кривошипу ОА, буде напрямлена перпендикулярно до кривошипа ОА в напрямі обертання кривошипа. Проводимо пряму І₁І₁, перпендикулярну до вектора . Вектор швидкості точки В завжди напрямленийвздовж напрямних, які обмежують рух повзуна – проводимо пряму І₂І₂, перпендикулярну до напрямних. Паралельні прямі І₁І₁ та І₂І₂ не перетинаються, тобто миттєвого центра швидкостей нема. Це означає що шатун АВ в цей момент часу здійснює миттєво-поступальний рух, за яким кутова швидкість шатуна дорівнює нулеві.

Відповідь: .

 

Завдання № 17

 

Шестерня здійснює плоский рух. Для визначення швидкості точки С знайдемо миттєвий центр швидкостей шестерні – він знаходиться в точці Р дотику шестерні до нерухомої поверхні. Далі знаходимо швидкість точки А, яка одночасно належить шестерні та кривошипу. Швидкість точки А напрямлена перпендикулярно до кривошипа в напрямі його обертання і дорівнює м/с. Зображуємо стрілкою напрям обертання шестерні навколо миттєвого центра швидкостей. Вектор швидкості точки С буде напрямлений перпендикулярно до відрізку РС в напрямі обертання шестерні, а величину швидкості точки С знайдемо з пропорції . Таким чином, маємо м/с.

Відповідь: м/c.

.

Завдання № 18

Маємо складний рух точки, за яким абсолютна швидкість точки дорівнює , де - переносна швидкість, - відносна швидкість. Переносна швидкість точки напрямлено перпендикулярно до ОМ в бік обертання тіла, а її величина дорівнює , де - кутова швидкість тіла, . В момент часу с маємо =1 м/c. Відносна швидкість точки напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто до ободу диска, а її величина дорівнює м/c. Напрям вектора абсолютної швидкості визначається векторною сумою векторів переносної та відносної швидкостей. Напрями переносної та відносної швидкостей співпадають, тому величина абсолютної швидкості точки дорівнює м/c.

Відповідь: м/c.

 

Завдання № 19

 

Маємо складний рух точки, за яким абсолютна швидкість точки дорівнює , де - переносна швидкість, - відносна швидкість. Переносна швидкість точки напрямлено перпендикулярно до ОМ в бік обертання тіла, тобто від нас, а її величина дорівнює , де . В момент часу с маємо м/c. Відносна швидкість точки напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж прямої СВ, а її величина дорівнює 9 м/c. Напрям вектора абсолютної швидкості визначається векторною сумою векторів переносної та відносної швидкостей. Вектори переносної та відносної швидкостей взаємно перпендикулярі, тому величина абсолютної швидкості точки дорівнює м/c.

Відповідь: м/c.

 

Завдання № 20

Маємо складний рух точки, за яким абсолютна швидкість точки дорівнює , де - переносна швидкість, - відносна швидкість. Переносна швидкість точки напрямлена перпендикулярно до АМ в бік обертання тіла, тобто до нас, а її величина в момент часу с дорівнює м/c. Відносна швидкість точки напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж прямої АС, а її величина дорівнює м/c. Напрям вектора абсолютної швидкості визначається векторною сумою векторів переносної та відносної швидкостей. Вектори переносної та відносної швидкостей взаємно перпендикулярі, тому величина абсолютної швидкості точки дорівнює м/c.

Відповідь: м/c.

 

Завдання № 21

Прискорення Коріоліса точки визначається за формулою , де - кутова швидкість тіла, - відносна швидкість точки . Кутова швидкість дорівнює с^-1. Вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в напрямі обертання, що випливає з додатного значення кутової швидкості. Щоб знайти напрям прискорення Коріоліса, перенесемо вектор точку М. Вектор напрямлений так, що з кінця вектора найкоротший поворот вектора до вектора видно проти ходу годинної стрілки, тобто від нас. Модуль вектора дорівнює м/с².

Відповідь: м/с².

 

Завдання № 22

Прискорення Коріоліса точки визначається за формулою , де - кутова швидкість тіла, - відносна швидкість. Вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в напрямі обертання. Щоб знайти прискорення Коріоліса, перенесемо вектор точку М. Вектори та напрямлені вздовж однієї прямої, а в цьому випадку модуль вектора дорівнює . Таким чином, прискорення Коріоліса відсутнє.

Відповідь: .

 

Завдання № 23

Прискорення Коріоліса точки визначається за формулою , де - кутова швидкість тіла, - відносна швидкість точки . Вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в напрямі обертання. Щоб знайти напрям прискорення Коріоліса, перенесемо вектор точку М. Відносна швидкість точки напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж трубки в напрямі руху, а її величина дорівнює м/c. Щоб знайти прискорення Коріоліса, перенесемо вектор точку М. Вектор напрямлений так, що з кінця вектора найкоротший поворот вектора до вектора видно проти ходу годинної стрілки, тобто від нас. Модуль вектора дорівнює м/с².

Відповідь: м/с².

Завдання № 24

Прискорення Коріоліса точки визначається за формулою , де - кутова швидкість тіла, - відносна швидкість. точки . Вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в напрямі обертання, тобто до нас. Щоб знайти напрям прискорення Коріоліса, перенесемо вектор точку М. Відносна швидкість точки напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж прямої АВ в напрямі руху, а її величина в момент часу с дорівнює м/c. Вектор напрямлений так, що з кінця вектора найкоротший поворот вектора до вектора видно проти ходу годинної стрілки, тобто вліво. Модуль вектора дорівнює м/с². Звідси знаходимо с^-1.

Відповідь: с^-1.

 

 

Завдання № 25

Відносне прискорення точки – це прискорення руху точки в її русі відносно трикутника. Відносне прискорення точки знаходиться за формулою , де - відносне дотичне прискорення точки, - відносне нормальне прискорення точки. Відносне дотичне прискорення точки дорівнює . В момент часу =2 с воно дорівнює м/с². Воно напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж прямої АС, і співпадає за напрямом з вектором , тому що величини та мають однаковий знак. Нормальне відносне прискорення точки дорівнює , де - радіус кривини траєкторії руху точки в момент визначення цього прискорення. При відносному русі вздовж прямої маємо , тому =0. Таким чином м/с² .

Відповідь: =12 м/с².

 

 

Завдання № 26

 

Прискорення Коріоліса точки визначається за формулою , де - кутова швидкість тіла, - відносна швидкість точки . Вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в напрямі обертання. Щоб знайти напрям прискорення Коріоліса, перенесемо вектор точку М. Відносна швидкість точки напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж прямої СА в напрямі руху, а її величина в момент часу с дорівнює м/c. Вектор напрямлений так, що з кінця вектора найкоротший поворот вектора до вектора видно проти ходу годинної стрілки, тобто від нас. Модуль вектора дорівнює м/с².

Відповідь: м/с².

 

Завдання № 27

Відносне прискорення точки – це прискорення руху точки в її русі відносно диска. Відносне прискорення точки знаходиться за формулою , де - відносне дотичне прискорення точки, - відносне нормальне прискорення точки. Відносне дотичне прискорення точки дорівнює . В момент часу =1 с воно дорівнює м/с². Воно напрямлена по дотичній до траєкторії відносного руху, тобто вздовж діаметра, і співпадає за напрямом з вектором , тому що величини та мають однаковий знак. Нормальне відносне прискорення точки дорівнює , де - радіус кривини траєкторії руху точки в момент визначення цього прискорення. При відносному русі вздовж прямої маємо , тому =0. Таким чином м/с² .

Відповідь: =12 м/с².

 

 

Задача №28

 

Запишемо другий закон Ньютона в координатній формі: , тобто . Звідси знаходимо прискорення точки: м/с². Інтегруючи цей вираз, отримаємо:

м/с.

Відповідь: 10 м/с.

 

 

Задача №29

 

Запишемо другий закон Ньютона в координатній формі: , тобто 0, . Звідси знаходимо прискорення точки: м/с². Інтегруючи цей вираз при нульових початкових умовах, отримаємо:

м.

Відповідь: 12 м.

 

Задача №30

Розглянемо рух тіла вздовж поверхні. На нього діють сили: сила ваги , сили пружності пружин та , та реакція поверхні . В координатній формі в проекції на вісь рівняння руху має вигляд:

.

Перепишемо його так:

,

де - частота власних коливань.

Знаходимо:

1/с

Відповідь: 10 1/с.

 

 

Задача №31

 

Будемо розглядати рух кульки. Зобразимо сили, що на неї діють – це сила ваги та натяг нитки . Зобразимо нормаль , яка напрямлена до шарніра О, та швидкість точки , яка напрямлена перпендикулярно до нитки.

Запишемо другий закон Ньютона в проекції на нормаль: Звідси отримаємо вираз для натягу нитки:

Н.

Відповідь: 1 Н.

 

Задача №32

 

Будемо розглядати рух кульки. Зобразимо сили, що на неї діють – це сила ваги та натяг нитки . Зобразимо нормаль , яка напрямлена до шарніра О, та швидкість точки , яка напрямлена перпендикулярно до нитки.

Запишемо другий закон Ньютона в проекції на нормаль:

Звідси отримаємо вираз для натягу нитки:

Н.

Відповідь: 1,02 Н.

 

 

Задача №33

Будемо розглядати автомобіль як матеріальну точку, на яку діють сила ваги та реакція мосту , яку направимо протилежно нормалі до поверхні мосту. Вектор швидкості автомобіля направимо по дотичній до поверхні мосту.

Запишемо другий закон Ньютона в проекції на нормаль:

Звідси отримаємо вираз для реакції мосту:

Н.

Відповідь:8800 Н.

 

 

Задача №34

Будемо розглядати автомобіль як матеріальну точку, на яку діють сила ваги та реакція мосту , яку направимо протилежно нормалі до поверхні мосту. Вектор швидкості автомобіля направимо по дотичній до поверхні мосту.

Запишемо другий закон Ньютона в проекції на нормаль:

Покладаючи , знаходимо:

м/с.

Відповідь: 20 м/с.

 

 

Задача №35

 

Будемо розглядати автомобіль як матеріальну точку, на яку діють сила ваги , реакція поверхні та сила тертя .

Запишемо другий закон Ньютона в проекції на нормаль:

Знаходимо:

 

Н

Відповідь: 4000 Н.

 

Задача №36

 

Будемо розглядати автомобіль як матеріальну точку, на яку діють сила ваги , реакція поверхні та сила тертя .

Використаємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки:

Маємо:

.

Знаходимо: . Початкова швидкість автомобіля дорівнює: м/с

Тоді

м

Відповідь: 50 м.

 

 

Задача №37

 

Будемо розглядати автомобіль як матеріальну точку, на яку діють сила ваги , сила тертя та нормальна реакція поверхні . Запишемо рівняння руху тіла . Сила тертя дорівнює , де - коефіцієнт тертя. Для знаходження реакції опори запишемо другий закон Ньютона в проекції на вісь : . Тобто, . Тобто, . Виконаємо інтегрування: , - сталі інтегрування. Для їх знаходження запишемо початкові умови: . Будемо мати . Таким чином, будемо мати , . Час, який тіло буде рухатися до зупинки знаходиться з умови . Маємо . Тоді шлях до зупинки буде дорівнювати: м.

Відповідь: 50 м.

 

Задача №38

 

Зобразимо сили, які діють на ротор – це сила ваги та реакції опори . Запишемо рівняння руху ротора навколо осі обертання : , де - кут повороту ротора, осьовий момент інерції. Для диска маси M і радіуса маємо . Тобто

с^-2.

При нульових початкових умовах кутова швидкість в момент с дорівнює: с^-1.

Відповідь: 20