Количественные натуральные числа. Счет
Российское образование [Электронный ресурс]: федеральный портал / ФГУ ГНИИ ИТТ "Информика". - М: [б. и.], 2002. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: www.edu.ru Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]: информационная система / ФГУ ГНИИ ИТТ "Информика". - М: [б. и.], 2005. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: http://window.edu.ru Руконт [Электронный ресурс]: национальный цифровой ресурс / ООО «Агентство Книга-Сервис». - М: [б. и.], 2011. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: http://www.rucont.ru
Университетская библиотека Online [Электронный ресурс] / ООО "Директ-Медиа". - М: [б. и.], 2006. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: www.biblioclub.ru
Универсальные базы данных East View [Электронный ресурс]: информационный ресурс / East View. - М: [б. и.], 2012. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: www.ebiblioteka.ru
научная электронная библиотека eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: информационный портал / ООО "РУНЭБ", Санкт-Петербургский государственный университет. - М: [б. и.], 2010. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: www.eLibrary.ru Научно-информационный портал ВИНИТИ [Электронный ресурс]: информационный ресурс / ВИНИТИ РАН. - М: [б. и.], 2004. - Загл. с титул. экрана. - Б. ц. URL: http://science.viniti.ru Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах. Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М. Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано. Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа. Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами. В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1- 4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4,... Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными. Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1- 4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах. Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например: I, II, III, IIII,... °, °°, °°°, °°°°,... один, два, три, четыре,... То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам. Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1- 4. Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда. Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b. Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 - 4. Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа. Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1. Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, что b ' = а. Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а' также есть в М, поскольку предшествующим для а' является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а' принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число. Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число. Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел. Количественные натуральные числа. Счет Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие. Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа = {х | хÎN и х £ а} Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т. е. N7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда. 1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка Nа. 2) Если число х содержится в отрезке Nа и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в Nа. Действительно, если х ÎNа и х ¹ а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а = х + с. Если с = 1, то а = х + 1, а значит, х + 1 содержится в Nа. Если же с > 1, то с - 1 - натуральное число и, следовательно, а = х + с = (х + 1) + (с - 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку Nа. Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда. Например, множество А вершин треугольника - конечное множество, так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т.е. А ~ N3. Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда. Доказательство этой теоремы мы опускаем. Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а. Например, если А - множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное. Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а. В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д. Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.
|
