Студопедия — Теоретико-множественный смысл произведения
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретико-множественный смысл произведения






Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого.

Теорема 4. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а o b. И, кроме того, положим, что а o 1 = а. Тогда выражение а o (b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а o (b+ 1) = . Сумму а + а + …+ а + а можно представить в виде выражения () +а, которое равно а o b + а. Значит, операция а o b обладает теми же свойствами, что и умножение, определенное в аксиоматической теории, а именно, а o 1 = а и а o (b + 1) = а o b + а. В силу единственности умножения получаем, что a o b = а × b.

Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а × b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а.

Умножение на 1 определяется так: а × 1 = а.

Если умножение рассматривается на множестве целых неотрица­тельных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - опре­деление умножения на нуль: а× 0 = 0.

Таким образом, получаем следующее определение умножения целых неотрицательных чисел.

Определение. Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а × b = , еслн b > 1;

2) а × b = а, если b = 1;

3) а × b = 0, если b = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множествен­ную трактовку. Если множества А1, А2,..., Аb, имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 È А2 È...È Аb, содержит а × b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а × b (b >; 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а × b = п (А1 È А2 È...È Аb), если п (А1) = п (А2) =... = п (Аb) = а и А1, А2,..., Аb попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А1) = n(А2) = n(А3) = 4, то n(А1 È А2 È А3) = n(А1) + n (А2) + n(А3) = 4 + 4 + 4 = 4 ×;3. Произведение 4 ×;3 является матема­тической моделью данной задачи. Так как 4 ×;3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем вы­полняется равенство: п(А´В) = п(А) × п(В).

Доказательство. Пусть даны множества А = (а1, а2,..., ап), В = (b1, b2, …, bk), 741,причем k > 1. Тогда множество А´ В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 £ i £ n, 1 £ j £ k. Разобьем множество А ´ В на такие подмножества А1, А2,..., Аk, что подмножество Аj, состоит из пар вида (а1, bj), (а2,, bj),…, (аn, bj).Число таких подмножеств равно k, т.е. числу элементов в множестве В. Каждое множество Аj состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А´ В равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел п и k. Таким образом, равенство n(А´ В) = n(А) × n(В) доказано при k > 1. При k = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда А ´ В состоит из пар вида (а1, b), (а2,, b),…, (аn, b),число которых равно п. Поскольку n(А) = n, n(В) = 1, то и в этом случае имеем: n(А´ В) = n(А) ×;n(В)= n ×;1 = n.

При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В =Æ и n(А´Æ)= n(А) ×; n(Æ) = а ×; 0 = 0.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а × b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.

а × b = п(А) × п(В) = п(А ´ В).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоре­тико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а × b = b × а состоит в том, что хотя множества А ´ В и В ´ А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множе­ства А ´ В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В ´ А, и каждая пара из множества В ´ А сопоставляется только одной паре из множества А ´ В. Значит, n(А ´ В) = n(В ´ А) и поэтому а × b = b × а.

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ассоциативного свойства умножения. Множества А ´ (В ´ С) и (А ´ В) ´ С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества А ´ (В ´ С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (А ´ В) ´ С, и каждая пара из множества А ´ (В ´ С) сопоставляется единственной паре из множества (А ´ В) ´ С. Поэтому n(А ´ (В ´ С)) = n((А ´ В) ´ С) и, следовательно, а(bс) = (а b)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А´ (В \ С)= (А ´ В) \ (А ´ С).

В начальных курсах математики произведение целых неотрицатель­ных чисел чаще всего определяют через сумму. Случаи а ´ 1 = а и а ´ 0 = 0 принимаются по определению.







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 3286. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия