Алгоритм деленияКогда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти такие целые неотрицательные числа q r, что а = bq + r, причем 0 £ r < b. Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 × 6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45: 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9×5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком: 51 - 45 5 Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378 = 4 q + r, причем остаток r должен удовлетвори условию 0 £ r < b, а неполное частное q - условию 4 q £ 378 < 4(q + 1). Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4 q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условий сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. есть 10 < q < 100, то тогда 40 < 4 q < 400 и, следовательно, 40 < 378 < 400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 × 90 = 360, а 4 × 100 = 400, и 360 < 378 < 400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q = 90 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4× (90 + q0) £ 378 < 4 × (90 q + q0+ 1), откуда 360 + 4 q0 £ 378 < 360 + 4(q0 + 1) и 4 q0 £ 18 < 4(q0 + 1). Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0 = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитание: 378 – 4 × 94 = 2. Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378 – 4 × 94 + 2. Описанный процесс является основой деления уголком:
- 36 94 - 16 Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52 q + r, 0£ r <; 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52 q £ 4316 < 52 (q+1). Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520 < 4316 < < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 ×; 80 = 4160, а 52 ×;90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 52 ×; (80+ q0) £ 4316 < 52 ×;(80+ q0 + 1), 4160 + 52 q0 £ 4316 < 4160 + 52 ×;(q0 + 1), 52 q0 £ 156 < 52 ×;(q0 + 1). Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52 ×;3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.
4316 52 - 416 83 - 156
|
9
378 4
Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:
