Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,("а, b Î Q+) а + b= b + а; ("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка Х выражается дробью Так как Х= Определение. Если положительное число а представлено дробью Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основываетсяна определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел. Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+. Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с. В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а> b. Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства. 1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством. 2. Если рациональные числа а и b представлены дробями 3. Если рациональные числа а и b представлены дробями 4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа. 5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+. 6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа. Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с. Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна. Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,представленных дробями Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а:b=с тогда и только тогда, когда а = bс. Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
|
при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е1 и выражается дробью 
. Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е1?
, азначит, 
(т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда m < р.
/
.
