Нелінійні множинні економетричні моделі та їх аналіз.

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд

Y = ХА + и, (1)

де Y – вектор значень залежної змінної; X – матриця незалеж­них змінних розміром п на т (п – число спостережень, т – кількість незалежних змінних); А – вектор параметрів моделі; и – вектор залишків.

Нагадаємо передумови застосування 1МНК для оцінки параметрів моделі:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто

М(u) = 0; (2)

2) значення щ вектора залишків и незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто

M(uu') = Е, (3)

де Е – одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не пов'язані із залишками:

М(х'u) = 0; (4)

4) незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систе­
му векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто |Х' Х| ≠0. Це означає, що матриця X має повний ранг.

Перша умова є очевидною. Адже коли математич­не сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфіка­ції не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця переду­мова не виконується, то йдеться про помилку специфікації.

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може ви­конуватись лише тоді, коли залишки и є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не врахо­вані в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У такому разі йдеться про явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками і поясню­вальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли еконо-метрична модель будується на базі одночасових структурних рів­нянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво- або трикроковий методи наймен­ших квадратів.

Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні, які вхо­дять до економетричної моделі, мають бути незалежними між со­бою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних (пояснювальних) змінних, які були б зовсім не пов'язані між собою. Тоді щоразу необхідно з'ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі.

Це явище називають мультиколінеарністю змінних, що призво­дить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей за допо­могою 1МНК.

Оцінимо методом 1МНК параметри моделі (1), для якої вико­нуються умови (2)–(5).

Рівняння (1) подамо у вигляді: и = Y-XA. Тоді суму квадратів залишків и можна записати так:

. (5)

Продиференціюємо цю умову за А і прирівняємо похідні до нуля:

.

Або

X' ХА =Х'Y, (6)

де X' – матриця, транспонована до матриці незалежних змін­них X.

Звідси

А = (Х'Х)^-1Х'Y. (7)

Рівняння (6) дає матричну форму запису системи нормальних рівнянь, а формула (7) показує, що вектор А є розв'язком системи таких рівнянь.

Формули (6) і (7) можна одержати й інакше.

Так, помноживши рівняння (1) зліва спочатку на X ', а потім на матрицю (X' X)^-1, одержимо:

.

Оскільки (X' X) ^-1 X' X = Е, то справджується рівність:

Згідно з (4), коли п – > ∞, М (X' u) = 0, отже, .Неважко показати, що оцінки , обчислені за (7), мінімізують суму квадратів залишків и.

При цьому значення вектору є розв'язком так званої системи нормальних рівнянь (Х'Х) =Х'Y. Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від свого середнього, то матрицю X' X називають матри­цею моментів.

У цьому випадку числа, що розміщені на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші еле­менти відповідають взаємним коваріаціям.

Отже, структура матриці моментів відображає зв'язки між незалеж­ними змінними. Чим ближчі показники коваріацій до величини дис­персій, тим ближчий визначник матриці X' X до нуля і тим гірші оцінки параметрів . Далі буде показано, що стандартні помилки параметрів прямо пропорційні до значень, розміщених на голов­ній діагоналі матриці (X' X)^-1.

Розглянемо приклад оцінювання параметрів моделі 1МНК.

Приклад 1. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує залежність між тижневими витратами на харчування, загальними витратами та розміром сім'ї. Вихідні дані в умовних одиницях наведені в табл. 1.

1.

з/п	Витрати на харчуван­ня Су), ум. од.	Загальні витрати (х,), ум. од.	Розмір сім'ї (х2), кільк. Членів
			1,5
			1,6
			1,9
			1,8
			3,4
			3,6
			3,4
			3,5
			5,5
			5,4
			5,4
			5,3
			8,5
			8,3
			8,1
			7,3

Розв'язання

Запишемо економетричну модель:

де – відповідно фактичні та розрахункові значення тижневих витрат на харчування за моделлю; x₁ – загальні витрати; x₂ – розмір сім'ї; и – залишки; – оцінка параметрів моделі.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд:

А = (Х'Х)^-1Х'У,

 

Де

X' – матриця, транспонована до матриці X.

Матриця X, крім двох векторів незалежних змінних, містить век­тор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. Не дописуючи такого ве­ктора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рів­ністю:

, де – середнє значення залежної змінної; , – середні значення незалежних змінних х₁, і х₂.

Згідно з оператором оцінювання знайдемо:

 

1)(Х'Х) = 16 416,2 74,5

416,2 1601562 23271,2

74,5 23271,2 436,69

 

2) 0,314 - 0,00017 -0,0446

-0,00017 0,00003 -0,00012

-0,0446 -0,00012 0,0165

 

 

Отже, економетрична модель має вигляд: .

Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:

; ; , тобто

Отже, коли за всіх однакових умов незалежна змінна х, (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,2004 одиниць. Якщо за інших незміннних умов незалежна змінна х₂ (розмір сім'ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залеж­на змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 6,9306 одиниць.

У класичній регресійній моделі У = ХА + u; вектор и = (u₁, u₂,...,u_n) і залежний від нього вектор У = (у₁, у₂,_…, y_n)' є випадковими змінни­ми. До оператора оцінювання входить вектор У = ( = (Х ^’Х)^-1 Х'У),а, отже, оператор також можна вважати випадковою функцією оці­нювання параметрів моделі.

Відомо, що для характеристики випадкових змінних , поряд з математичним сподіванням, застосовуються також дисперсія і коваріація . Істинні (справжні) значення цих параметрів класичної економетричної моделі утворюють дисперсійно-коваріа-ційну матрицю:

 

Оцінки коваріаційної матриці

використовую­ться для знаходження стандартних помилок та обчислення довірчих інтервалів оцінок параметрів . Вони використовуються й при пере­вірці їх статистичної значущості.

На головній діагоналі матриці містяться оцінки диспер­сій j- оі оцінки параметрів, що ж до елементів , які розміщені поза головною діагоналлю, то вони є оцінками коваріації між і .

Отже,

Де - оцінка дисперсії залишків;

.

Оскільки вектор залишків , то добуток векторів можна записати так:

Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків:

 

.

Позначимо (j, k)-й елемент матриці (X' X)^-1 символом с_jk, тоді j-й елемент по головній діагоналі матриці обчислюється за формулою:

(8)

Коваріації , що містяться за межами головної діагоналі, від­повідно такі:

. (9)

Приклад2. Для економетричної моделі обчис­лимо коваріаційну матрицю . Отже, маємо:

;

 

n=16, m= 3

Розв 'язання

1. Обчислимо незміщену оцінку дисперсії залишків :

.

Визначимо дисперсії оцінок :

3. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій указує на те, що збільшення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення в се­редньому іншої і навпаки.

Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю

(10)

4. Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

Порівняємо кожну стандартну помилку з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення (11):

Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно 41 %, 18 % і 12 %, а це свідчить про зміщеність оцінок.

 

 

Перевіримо значущість оцінок параметрів Â; і знайдемо для них довірчі інтервали, припустивши для цього, що залишки u нормально розподілені, тобто .

Перевірку гіпотези виконаємо згідно з t -критерієм:

, (12)

де – діагональний елемент матриці . Знаменник відношення (12) – називається стандартною похибкою оцінки параметра моделі.

Обчислене значення t -критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і ступенях свободи. Якщо t _факт >
> t _табл, то відповідно оцінка параметра економетричної моделі є достовірною.

На основі t -критерію і стандартної помилки побудуємо довірчі інтервали для параметрів a_j:

. (13)

Перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі

,

побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 1.

;

;

.

Якщо ступінь свободи n – m = 16 – 3 = 13 і рівень значущості
a= 0,05, t _табл = 2,16. Оскільки t _1факт > t _табл, t _2факт > t _табл, t_{3 факт} > t _табл то оцінки параметрів , , характеризують істотний зв’язок цих незалежних змінних (, , ) із залежною.

Оцінка параметра може перебувати в таких межах:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Використаємо модель (1) для знаходження прогнозних значень вектора У_о, який відповідатиме очікуваним значенням матриці незале­жних змінних Х₀.. Наш прогноз може бути точковим або інтервальним. Інтервальний прогноз побудуємо на основі точкового, скориставшись побудованою економетричною моделлю.

Щоб отримати інтервальний прогноз, необхідно розрахувати се­редню похибку прогнозу.

Вона зростає з віддаленням значення від відповідного серед­нього значення вибірки.

Розрахуємо спочатку дисперсію прогнозу.

У матричному вигляді дисперсія прогнозу

(14);

(15).

Довірчий інтервал для прогнозних значень

(16)

де – критичне значення t-критерію при п - т ступенях вільності і рівні значущості α.

Зауважимо, що можна розглядати як точкову оцінку математичного сподівання прогнозного значення , а також як ін­дивідуальне значення для вектора незалежних змінних Х_о, що лежить за межами базового періоду.

Для визначення інтервального прогнозу індивідуального значен­ня необхідно знайти відповідну стандартну похибку :

Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначає­ться як

(17)

. Необхідно розрахувати для економетричної моделі точковий та інтервальний прогнози індивідуального значення залежної змінної, коли для прогнозного періоду відомий вектор

.

1. Визначаємо точкові прогнозні значення залежної змінної,

: то

Визначаємо дисперсію прогнозу за формулою:

Стандартна помилка прогнозу:

Табличне значення критерію Стьюдента при рівні значущості α= 0,05 і ступенів вільності п - т = 13 дорівнює t_0,05 = 2,160.

Обчислюємо дисперсію і стандартну помилку прогнозу інди­відуального значення у₀:

.

Стандартна помилка прогнозу індивідуального значення у₀ така:

.

Визначаємо інтервальний прогноз індивідуального значення у₀:

.

150,894 - 2,160 ▪ 18,5698 ≤; у₀ ≤ 150,894 + 2,160 ▪ 18,5698;

150,894 - 40,111 ≤ у₀ ≤ 150,894 + 40,111;

110,783 ≤; у₀ ≤ 191,005.

Отже, з імовірністю р = 0,95 (α = 0,05) прогноз індивідуального значення у₀ потрапляє в інтервал [110,783; 191,005].

Можна також зазначити, що з імовірністю p = 0,95 знайдені прогно­зи покривають М(у₀) і у_{0 ,}коли взяти досить велику кількість вибірок і для кожної з них обчислювати інтервальні прогнози.

Економічна інтерпретація: якщо в прогнозному періоді загальні витрати мають рівень 500 одиниць, а сім'я складається з шести осіб, то витрати на харчування потрапляють в інтервал:

110,783 ≤; у₀ ≤ 191,005.

6. Багато економічних процесів варто описувати нелінійними залежностями, які бувають двох типів: за змінними і за параметрами. Разом з тим теоретично обґрунтованими і доступними у практичних дослідженнях є лінійні економетричні моделі.

Для цілей лінійного регресійного аналізу важливе значення має тільки другий тип лінійності. Нелінійності першого роду за змінними можуть бути легко усунуті шляхом введення нових змінних.

Наприклад, якщо обрано поліноміальну модель з однією пояснюючою змінною

Y=a₀ + a₁x + … + a_mx_m + U,

z₁ =x,…, z_m=x^m, одержимо множинну лінійну економетричну модель

Y=a₀ + a₁z + … + a_mz_m + U.

У випадку поліміальної моделі з декількома пояснюючими змінними

Y=a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₁² + a₄x₁x₂ +a₅x₂² + …. + U

заміна х₃ = х₁², х₄ = х₁х₂, х₅ = х₂², … знову приводить до лінійної економетричної моделі.

Звичайно рівняння нелінійні за параметрами є нелінійними і за змінними, і їх не можна перетворити у лінійні тільки шляхом уведення нових змінних.

Такою є виробнича функція Кобба–Дугласа

Y = aF ^a L ^b,

де Y – обсяг продукції; F – основний капітал; L – робоча сила. Подібні залежності між показником Y і m факторами Z₁, Z₂, …, Z_m записуються у вигляді

Y = a₀z₁^a1z₂^a2…z_m^ame^u

і за допомогою логарифмічного перетворення

lnY = ln a₀ + a₁ln z₁ + a₂ ln z₂ + … +a_m ln z_m + U

зводяться до лінійної за параметрами регресії. Визначення

ln Y, a₀ = ln a₀, x₁ = ln z₁, …, x_m = ln z_m

Призводять до лінійної економетричної моделі

Y = a₀ + a₁ x₁ + … + a_m x_m + U.

Побудову і аналіз перетвореної лінійної економетричної моделі можна зробити за алгоритмом попередніх розрахунків, які були здійснені саме для лінійної множинної моделі.

 

Контрольні запитання

1. Дайте означення економетричної моделі.

2. Назвіть етапи побудови економетричної моделі.

3. Що означає специфікація моделі?

4. Коли для оцінки параметрів моделі можна застосувати 1МНК?

5. Запишіть оператор оцінювання 1МНК. Як його можна дістати?

6. Як обчислити матрицю коваріацій параметрів моделей?

7. Запишіть формулу визначення дисперсії залишків.

8. Використовуючи оператор оцінювання 1МНК, знайдіть оцінки параметрів моделі , якщо задано вектори Y і X.

Y
X

9. Визначіть вектор коваріації параметрів моделі, базуючись на результатах завдання 8.

14. Порівняйте значення оцінок стандартної помилки. Чи мають зміщення оцінки параметрів?

Завдання для самостійної роботи

Побудувати множинну лінійної економетричну модель за вихідними даними теми 3 (табл. 1-8), використовуючи лінійний оператор методу найменших квадратів, та проаналізувати її:

1.побудувати дисперсійно-коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі;

2. перевірити знайдені параметри на значущість за критерієм Стьюдента;

3. побудувати інтервали довіри для параметрів моделі;

4.визначити точковий та інтервальний прогнози для Х_1прог=17,7, Х_2прог=22,8, Х_3прог=24,5.