Определители и матрицы.

· при а (-1; 1), х =

· при а [1; ), х_1,2 =

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

I. способ (аналитический):

ОТВЕТ: при а -2 уравнение имеет единственное решение

способ (графический):

ОТВЕТ:

при а -2 уравнение имеет единственное решение

1. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение. Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции: у1 = 2 + х у2 = Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0). График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2) Из рисунка видно, что при а < -2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно -2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение. ОТВЕТ: при a -2 уравнение имеет единственное решение. 2. При каких значениях параметра а уравнение = х + а имеет 1 решение? Рассмотрим две функции: у1 = у2 = x + a График первой функции строится при помощи сдвига графика y = на 1 единицу влево. График второй функции строится при помощи сдвига графика у =х на соответствующее значение параметра а (при а > 0 - сдвиг влево, при а < 0 - сдвиг вправо). Из рисунка хорошо видно, что при a (- ; 1) уравнение имеет единственное решение. Но где-то есть такая точка, в которой график второй функции будет являться графиком касательной к у = , следовательно необходимо найти значение параметра а при этом условии. Возведём обе части уравнения в квадрат: ()2 = (х + а)2 x2 + 2ax - x + a2 - 1 = 0 x2 + x(2a - 1) + (a2 - 1) = 0 При D = 0 получившееся квадратное уравнение имеет всего одну точку пересечения с осью ОХ, найдем соответствующие значения параметра а. 4a2 - 4a + 1 - 4a2 + 4 = 0 4a = 5 при а = 1.25 В ответе объединяем два полученных решения. ОТВЕТ: при a (- ; 1) {1.25} уравнение имеет одно решение. 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Область определения уравнения:   ОТВЕТ: при а = -1,25 уравнение имеет единственное решение   4. Решить уравнение при всех значениях параметра а. Область определения уравнения: · если D < 0, то при a < , решений нет · если D 0, то a Соотнесём решение системы с условиями дискриминанта и получим ответ. · · ОТВЕТ: · при а < , уравнение не имеет решений · при а , х =   5. Решить уравнение при всех значениях параметра а. Область допустимых значений уравнения: Из области допустимых значений уравнения следует ограничение на параметр: а -1 Введем новые переменные: Получаем уравнение: t - v = 1, тогда: Сложим уравнения системы: t2 + v2 = a + 1 Составим новую систему: Решим второе уравнение системы: 2v2 + 2v - a = 0 D = 8a + 4 Чтобы уравнение имело корни D 0 - необходимое условие а 0.5, значит при а < 0.5 решений нет. (не удовлетворяет условию v 0) Так как v2 не является решением, то По условию v 0, следовательно 0 1, получаем а 0 По условию t 0, значит 0, что выполняется при всех допустимых значениях параметра а. Возвращаемся к старой переменной: х = Проверим соответствие корня области допустимых значений уравнений. x -1 -1 -(a + 1) Так как а 0, то правая часть всегда отрицательна и неравенство выполнимо при 1 + 2а 0 а -0.5 x a a a + 1 Так как а 0, то можно возвести обе части неравенства в квадрат 1 + 2а а2 + 2a + 1 а2 0, следовательно а - любое x > > > 0 Это неравенство выполняется при а -0.5 Так как а 0, то t = 1 + v неотрицательно (t 0) при тех же значениях парамера а.   ОТВЕТ: при а < 0, уравнение не имеет решений при а 0, х =   6. Решить уравнение = a при всех значениях параметра а. Ограничение на параметр: а 0, так как при а < 0 решений нет. Возведем обе части уравнения в квадрат: 2|x| - x2 = a2 x2 - 2|x| + a2 = 0 Чтобы избавиться от необходимости раскрывать модуль, введём новую переменную |x| = y, причём у есть число неотрицательное. Уравнение принимает вид: у2 - 2у + a2 = 0 D = 4 - 4a2 4 - 4a2 0 a [-1; 1] Так как а 0, то рассматриваем a [0; 1] y1 = 1 + y2 = 1 - Если a [0; 1], то подкоренное выражение неотрицательно и оба корня имеют место. |x| = 1 + x1 = 1 + x2 = 1 - |x| = 1 - x3 = 1 - x4 = -1 +   ОТВЕТ: при а (- ; 0) (1; + ), уравнение не имеет решений при а [0; 1], x1 = 1 + x2 = 1 - x3 = 1 - x4 = -1 +   7. Решить неравенство Область допустимых значений неравенства: Рассмотрим случаи: · если а > 0, то Объединяя решения первой и второй систем совокупности, получим х > · если а = 0, то 2 = 0, это уравнение верно при а 0 · если а < 0, то неравенство заведомо выполнимо в области допустимых значений уравнений (х a2)   ОТВЕТ: при а < 0, х a2 при а 0, x >

 

Определители и матрицы.

Системы линейных уравнений

1.1.Матрицы и определители

Операции над матрицами.

Суммой двух матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) называется матрица С =(с_ij), каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

с_ij= а_{i j}+ b_ij i = 1,2, …, m, j =1,2, …, n.

Произведением матрицы А = (а_ij) на число λ; называется матрица λА=(λ а_ij), где каждый элемент матрицы А умножается на число λ;.

Произведением матрицы А = (а_{i j})_mn на матрицу В = (b_ij)_nk называется матрица С =(с_ij) _mk = AB, элемент с_ij которой равен сумме произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы А и j -ого столбца матрицы В.