Преобразования в процессе управления

Рассматривая множество сообщений, составляющих процесс управления, как это делается и для любого множества элементов, можно выделять собственно сообщения (элементы множества) и связи между ними (связи между элементами множества). Сообщения рассмотрены в предыдущем параграфе. Обсудим связи между сообщениями в процессе управления. Для этого нам потребуется определить ряд понятий.

Ассоциациясообщений – это неупорядоченная пара сообщений, взятых из продольного или поперечного множества сообщений в процессе управления.

Преобразование – это процесс, в результате которого одно из сообщений ассоциации превращается в другое сообщение той же ассоциации.

Таким образом, преобразование описывает связь между сообщениями в ассоциации.

Так как для каждой ассоциации существует две пары упорядоченных сообщений, то следует различать преобразования для каждой из них. Соответственно первичнымсообщением в ассоциации будем считать сообщение, подвергаемое преобразованию, а вторичнымсообщением – полученное в результате преобразование.

Преобразование будем обозначать символом Т _аb с двумя индексами, указывающими направление и место действия, т.е. первичное а и вторичное b сообщения. Рассмотрим обозначение двух преобразований: Т _аb и Т _bа. Запись аT _ab b или T _ab a=b означает «преобразование Т _аb сообщения a в сообщение b» или «преобразование Т _аb сообщения а даёт в результате сообщение b».

T ab

T ba

Рис. 1.5. Графическое обозначение преобразования

Графически преобразование представлено на рис. 1.5. Всякое преобразование будем считать однозначным: преобразование одного сообщения даёт в результате также одно сообщение.

Преобразования можно различать в зависимости от сходства или отличия первичного и вторичного сообщений.

Нетривиальное преобразование такое, в результате которого из первичного сообщения получается отличное от него вторичное сообщение.

Тривиальное преобразование такое, в результате которого вторичное сообщение не отличается от первичного.

Тождественноепреобразование – это такое тривиальное преобразование, при котором первичное и вторичное сообщения являются одним и тем не сообщением.

Равнозначноепреобразование – это такое тривиальное преобразование, при которой первичное и вторичное сообщения являются отдельными, но одинаковыми сообщениями.

Тривиальное преобразование будем обозначать символом Т° либо вовсе его опускать.

Обратноепреобразование такое, которое преобразует вторичное сообщение в первичное. Например, обратное преобразование к преобразованию Т _аb есть Т _bа.

По известным первичному и вторичному сообщениям невозможно однозначно определить преобразование. Это легко показать на вычислительном примере. Если даны два сообщения: а = 2 и b = 8, то существует множество преобразований, применение которых к сообщению а дают в результате сообщение b.

Например: а + 6 = b, 3 a + 2 = b,

4 a = b, a ⁴ – 8 = b,

a ³ = b, 5 a – 2 = b и т.д.

Отсюда ясно также, что преобразование является сложным понятием. Выделим его элементы.

Операция – это один из элементарных процессов, на которых основывается преобразование.

Род операции – это качественная характеристика операции.

Параметроперации – это количественная характеристика операции.

Операционноепреобразование – это преобразование, описываемое операциями, которым подвергается первичное сообщение ассоциации.

Например, в операционном преобразовании 3 a + 2 = b две операции: «умножение на 3», в которой род операций – умножение, а её параметр – 3, и «прибавление 2», в которой род операции – сложение, а её параметр – 2.

Очевидно, что для описания простейшего однооперационного преобразования достаточно двух данных – рода и параметра операции. Для описания сложного преобразования, состоящего из n операций, необходимо 2 n данных – n родов и n параметров операций. Таким образом, в общем случае операционное преобразование состоит из (2 n + 2) элементов, два из которых – первичное и вторичное сообщения.

Если параметры операций таковы, что преобразование не приводит к изменениям, то оно является тривиальным. Например: а * 1 + 0 = а.

Рассмотрим несколько (множество) ассоциаций, а также преобразования, которые связывают первичное и вторичное сообщения в этих ассоциациях. Например, для ассоциации а = 1, b = 5 можно выделить следующие преобразования:

а + 2 = b, 3 a = b,

2 a + 1 = b, 4 a – 1 = b;

для ассоциации с = 2, d = 6:

c + 4 = d, 3 c = d,

2 с + 2 = d, 4 c – 2 = d;

для ассоциации е = 3, f = 9:

е + 6 = f, 3 e = f,

2 е + 3 = f, 4 e – 3 = f.

Можно заметить, что для всех этих трёх ассоциаций имеется общее (основное) операционное преобразование 2 m = n.

Основноепреобразование – это такое операционное преобразование, применение которого к исходному сообщению любой ассоциации в некотором множестве ассоциаций даёт вторичное сообщение той же ассоциации.

Как видно из рассмотренного выше примера, для данного множества ассоциаций общим будет также операционное преобразование n / 3 = m, являющееся обратным к основному преобразованию.

Обратное основное преобразование – это такое операционное преобразование, применение которого ко вторичному сообщению любой ассоциации, к которой относится данное основное преобразование, даёт первичное сообщение той же ассоциации.

Подобно этому будем различать обратное операционное преобразование и обратную операцию, которая характерна обратным родом или обратным параметром.

Обратный род операции – это такой род операции, при замене которым рода данной операции возникает операция, обратная данной.

Аналогично определяется обратный параметр операции.

Например, для операционного преобразования , обратным к нему будет (b ² – 3)/4 = а; «деление на 4» или «умножение на 0,25» являются операциями, обратными к операции «умножение на 4». «Извлечение корня» и «деление» являются родами операций, обратными соответственно «возведению в степень» и «умножению»; обратное число – параметр операции, обратный данному числу, т.е. 0,25 – параметр, обратный 4; отрицательное число – параметр операции, обратный положительному числу.

Теорема 1.1. При изменении рода и параметра в операции данного операционного преобразования на обратные преобразование не изменится.

Данная теорема доказывается исходя из свойств обратных рода и параметра менять операции на обратную. Например, преобразование (2 а) ^3/2 = b совпадает с преобразованием .

Если для данного процесса управления известно, какое вторичное сообщение получится в результате определённого операционного преобразования, то для повторного получения того же сообщения не обязательно знать операцию, на которой это преобразование основано и для установления связи между сообщениями достаточно установить соответствие между ними. Эта особенность позволяет экономить время и ресурсы в различных процессах, в том числе, в процессах управления. Например, при штамповке различных изделий, тиражировании рисунков и текстов одна и та не матрица используется многократно. При составлении программ для ЦВМ также следует для экономии машинного времени избегать неоднократных одинаковых вычислительных операций для многократного получения одного и того же числа или массива чисел. Однако при многократном использовании очень большого массива чисел часто приходится для экономии памяти ЦВМ за счёт затрат времени многократно выполнять одинаковые вычислительные операции.

Для некоторых процессов управления вообще невозможно обойтись без ассоциационных преобразований, т.к. неизвестны соответствующие им операционные преобразования.

Таким образом, можно выделить преобразования, которые не указывают как из первичного сообщения получается вторичное, т.е. не описываются операциями.

Ассоциационноепреобразование – это преобразование, характеризующееся тем, что применение его к первичному сообщению ассоциации даёт в результате вторичное сообщение той же ассоциации.

Также будем различать обратное ассоциационноепреобразование.

Например, если в процессе управления определённого рода было применено операционное преобразование сообщения а = 2 в сообщение b = 8 вида 4 а = b, то для других процессов управления того же рода достаточно было бы знать, что если 2, то 8, не интересуясь тем как это преобразование получено, т.е. применить ассоциационное преобразование «сообщению а = 2 соответствует сообщение b = 8».

В отличие от операционного преобразования, описываемого операция ми, которые необходимо выполнить, ассоциационное преобразование описывается парой упорядоченных конкретных сообщений, к которым это преобразование относится.

Таким образом, ассоциационное преобразование T _ab отвечает на вопрос, какое вторичное сообщение b соответствует данному первичному сообщению a или какое сообщение b образует c сообщением a ассоциацию; операционное преобразование T _ab отвечает на вопрос, что нужно сделать с первичным сообщением a или как (в результате какого процесса) получено вторичное сообщение b.

Для конкретной ассоциации существует два ассоциационных преобразования – прямое и обратное, в то же время сообщения, составляющие эту ассоциацию могут быть связаны многими операционными преобразованиями, включая обратные. Подобно этому для двух городов существует два направления – туда и обратно, но имеется много дорог в одном направлении и столько же в другом. Поэтому ассоциационное преобразование равнозначно всем операционным преобразованиям в данной ассоциации.

Цепь сообщений – это множество сообщений, образующих такую последовательность ассоциаций, в которых одно из сообщений одновременно относится как к предыдущему, так и к последующему сообщению.

На рис. 1.4. цепи сообщений образованы, например, следующими упорядоченными множествами сообщений: < х ₁, у ₁, z₁>, < у ₁, у ₂, у ₃>;.

Результирующеепреобразование – это преобразование, состоящее из преобразований последовательных ассоциаций цепи сообщений, причём вторичное сообщение, будучи результатом предыдущего преобразования, является первичным сообщением для следующего преобразования.

Например, если в цепи сообщений <a, b, c, d>; имеются преобразования а Т _ab b, bТ _bс c, c T _cd d (рис. 1.6.), то результирующим преобразованием первых двух преобразований является а Т _ab Т _bс c, а результирующее преобразование трёх преобразований этой цепи а Т _ab Т _bс T _cd d, что можно представить в виде уравнений: Т _bс Т _ab а = с, T _cd Т _bс Т _ab а = d.

 

Рис. 1.6. Преобразования в цепи преобразований

 

Если в цепи преобразований преобразования одинаковы, то результирующее преобразование получается путём многократного применения одного и того же преобразования. Например, если Т _ab = Т _bс = T _cd = T, то результирующие преобразования для рассмотренных цепей можно записать в виде: аТ ⁽²⁾ с, aT ⁽³⁾ d или

T ⁽²⁾ а = c, T ⁽³⁾ a = d.

В общем виде (n – 1) – кратное применение одного и того же преобразования можно записать в виде T ^{(n – 1)} x ₁ = x _n. Типичным примером такого преобразования является операция умножения на целое число, которая может быть выполнена путём выполнения одной и той же операции – сложения – количеством раз на единицу меньшим, чем множитель.

Легко доказать следующее утверждение [2].

Теорема 1.2. В цепи преобразований преобразование первого сообщения в последнее является результирующим преобразованием последовательных преобразований.

Для примеров, представленных на рис. 1.6., это утверждение означает, что

T _ad а = T _cd Т _bс Т _аb a, а если в цепи преобразований последнее сообщение n -е, то T _an a = T _mn … T _cd Т _bс Т _аb a.

Практическое значение этой теоремы состоит, во-первых, в том, что для получения результата можно выполнить непрерывную серию преобразований, не фиксируя промежуточные результаты, т.е. из оригинала можно сразу получить образ. Так делается, например, при сложных вычислениях по программе на ЦВМ, в отличие от вычислений на непрограммируемом калькуляторе или вручную. Во-вторых, некоторые неизвестные преобразования могут быть получены как результирующие из остальных известных преобразований, данной цепи сообщений.

Очевидно, что если в цепи сообщений все преобразования тривиальны, то результирующее преобразование также тривиально.

Теорема 1.3. Результирующее преобразование двух преобразований, одно из которых обратно другому, является тривиальным, т.е. Т _bа Т _аb = Т° или, что то же, T _ba T _ab a = a.

Например, есть вещества которые при нагревании расплавляются, а при охлаждении твердеют, практически не меняя своих начальных свойств. В таких ситуациях преобразование «нагревание – охлаждение» тривиально. Преобразование «умножение на 2 – делание результата на 2» также тривиально.

Вопросы для закрепления и углубления материала

1. Что такое ассоциация сообщений? Определите преобразование сообщений. Что описывает преобразование?

2. Какие преобразования можно различать в зависимости от сходства или отличия первичного и вторичного сообщений ассоциации? Определите их.

3. В чем разница между тождественным и равнозначным преобразованиями?

4. Определите операцию, ее составляющие, операционное преобразование, основное преобразование, а также обратные этим понятия.

5. Какие и в каком количестве данные необходимы для описания операционного преобразования?

6. Чем характеризуется ассоциационное преобразование? Какова его роль в процессе управления? Определите обратное ассоциационное преобразование.

7. Чем отличаются операционное и ассоциационное преобразования? Почему одно ассоциационное преобразование равнозначно всем операционным преобразованиям в данной ассоциации?

8. Определите цепь сообщений и результирующее преобразование.

9. Как определяется преобразование первого сообщения в последнее сообщение в цепи преобразований? Когда сложное преобразование может быть тривиально?

10. Подберите ко всем ответам, где это имеет смысл, примеры.