Реляционная алгебра А. Базовые операции подробно с примерами.

Идеи Кодда были переработаны несколько лет тому назад Дейтом и Дарвеном и была предложены новая алгебра А (притом этот алгебра в математическом смысле).

Небольшое повторение. Пусть r — отношение, A — имя атрибута отношения r, T — имя соответствующего типа (т. е. типа или домена атрибута A), v — значение типа T. Тогда:

заголовком Hr отношения r называется множество атрибутов, т.е. упорядоченных пар вида <A, T>. По определению никакие два атрибута в этом множестве не могут содержать одно и то же имя атрибута A;

кортеж tr, соответствующий заголовку Hr, — это множество упорядоченных триплетов вида <A, T, v>, по одному такому триплету для каждого атрибута в Hr;

тело Br отношения r — это множество кортежей tr. Заметим, что (в общем случае) могут существовать такие кортежи tr, которые соответствуют Hr, но не входят в Br.

Заметим, что заголовок — это множество (упорядоченных пар вида <A, T>), тело — это множество (кортежей tr), и кортеж — это множество (упорядоченных триплетов вида <A, T, v>). Элемент заголовка — это атрибут (т. е. упорядоченная пара вида <A,T>); элемент тела — это кортеж; элемент кортежа — это упорядоченный триплет вида <A, T, v>. Любое подмножество заголовка — это заголовок, любое подмножество тела — это тело, и любое подмножество кортежа — это кортеж.

Операции указываем в угловых скобках, чтобы не путать с операциями алгебры логики. Во всех формальных спецификациях exists обозначает квантор существования; exists tr означает «существует такой t r, что».

1) Реляционное дополнение. Пусть s обозначает результат операции <NOT>; r. Тогда:

• H s = H r (заголовок результата совпадает с заголовком операнда);
• B s = {t s: exists t r (t r B r and t s = t r) } (в тело результата входят все кортежи, соответствующие заголовку и не входящие в тело операнда).

Чтобы привести пример использования операции <NOT>, предположим, что в состав домена ДОПУСТИМЫЕ_НОМЕРА_ПРОЕКТОВ, на котором определен атрибут ПРО_НОМ отношения НОМЕРА_ПРОЕКТОВ с рисунка слева, входит всего пять значений {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда результат операции <NOT> НОМЕРА_ПРОЕКТОВ будет таким, как показано на рисунке справа.

2) Удаление атрибута. Пусть s обозначает результат операции r <REMOVE>; A. Для обеспечения возможности выполнения операции требуется, чтобы существовал некоторый тип (или домен) T такой, что <A, T> H r (т. е. в состав заголовка отношения r должен входить атрибут A). Тогда:

• H s = H r minus {<A, T>}, т. е. заголовок результата получается из заголовка операнда изъятием атрибута A;
• B s = {t s: exists t r exists v (t r B r and v T and <A,T,v> t r and t s = t r minus {<A,T,v>})}, т. е. в тело результата входят все кортежи операнда, из которых удалено значение атрибута A.