Экспериментальное определение

Зависимости составляющих сил резания от режимов резания

Методика расчета

 

Зависимость сил резания от режимов резания имеет вид:

Рz, x, y = , (1)

 

где v, S, t – скорости, подача и глубина резания; Ср, a, b, g – коэффициент и показатели степени, определяемые экспериментально.

Для определения численных значений коэффициента и показателей степени воспользуемся методами линейного регрессионного анализа и планирования эксперимента, которые позволяют получить достоверные данные при минимальном количестве опытов. Прологарифмируем обе части уравнения (1), чтобы привести его к линейному виду:

lg P = lg Cp + alg v + blg S + g lg t, (2)

и введем обозначения

y = lg P; z ₁ = lg v; z ₂ = lg S; z ₃ = lg t (3)

 

b ₀ = lg Cp, b ₁ = a,  b ₂ = b, b ₃ = g. (4)

 

Тогда уравнение (2) примет вид

. (5)

В уравнении (5) независимые переменные z ₁ называются факторами, b ₁– параметрами линейной регрессионной модели, величина y – откликом. Каждый фактор принимает только три значения, которые называются уровнями.

Для удобства расчетов уровни преобразуются (кодируются) таким образом, что им соответствуют значения –1, 0, +1 (соответственно нижний уровень, средний и верхний). Кодирование производится с помощью уравнений преобразования:

 

 

, (6)

 

, (7)

 

. (8)

 

При этом безразмерные факторы x ₁, x ₂, x ₃ удовлетворяют неравенствам:

; ;

и равны соответственно

 

где , , .

Пример кодирования факторов приведен в табл. 1.

 

Таблица 1

Пример кодирования факторов

 

Уровни факторов	Скорости, об/мин	Подача, мм/об	Глубина резания, мм
v	lg v	x 1	S	lg S	x 2	t	lg t	x 3
Нижний
Средний
Верхний

 

Выражая теперь величины , , из уравнений (6) – (8) через x ₁, x ₂, x ₃ соответственно и подставляя эти выражения в уравнение (5), получим

(9)

 

(10)

 

Обозначая теперь

x ₀ = 1,

(11)

получим

(12)

– линейную регрессионную модель относительно безразмерных факторов x ₀, x ₁, x ₂, x ₃.

Для нахождения значений параметров модели предусматривается проведение опытов при различных сочетаниях уровней всех трех факторов. Число всех возможных комбинаций для трех факторов равно . Обычно берут меньшее количество опытов, например восемь, и четыре опыта для определения погрешности эксперимента.

Условия эксперимента записываются в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента. Пример построения матрицы планирования для нашего случая представлен в табл. 2.

Таблица 2

Матрица планирования и результаты эксперимента

 

Номер опыта

Матрица планирования

Результаты измерений

n, об/ мин

S, мм/ об

T, мм

Кодовые обозначения

Силы резания (Н)

y = lg P

x 0

x 1

x 2

x 3

Pz

Py

Px

Pz

Py

Px

0,09

+1

–1

–1

–1

0,09

+1

+1

–1

–1

0,21

+1

–1

+1

–1

0,21

+1

+1

+1

–1

0,09

+1

–1

–1

+1

0,09

+1

+1

+1

+1

0,21

+1

–1

–1

+1

0,21

+1

+1

+1

+1

0,14

1,4

+1

0,14

1,4

+1

0,14

1,4

+1

0,14

1,4

+1

Примечание: число оборотов в табл. 2 перевести в v (м/мин), в зависимости от диаметра заготовки

м/мин.

 

Запишем значения факторов x_i в матрицу x, а результаты измерений – в вектор-столбец Y. Тогда получим матричную запись уравнения регрессии:

, (13)

 

 

где

.

 

Значения параметров находятся по формуле

. (14)

При наличии персонального компьютера данную формулу можно непосредственно программировать на каком-либо языке программирования (Фортран, Си или Паскаль), можно вычислять ее в каком-либо специализированном математическом пакете (Maple, MATLAB или MathCad).

Однако при таком выборе матрицы планирования, как в нашем примере, матрица X^TX получается диагональной, все вычисления упрощаются так, что их можно проводить с помощью микрокалькулятора. Приведем результаты матричных вычислений, затем формулы для вычисления параметров на калькуляторе.

,

 

 

,

 

,

 

.

 

Значения коэффициентов также могут быть рассчитаны следующим образом:

, (15)

 

где j = 1, 2, 3,..., N – номер опыта; i = 0, 1, 2,..., q – номер фактора.

В нашем случае

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Далее, зная значения параметров , из формулы (11) можно выразить значения , затем из формулы (4) – значения интересующих нас коэффициентов Ср,

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Таким образом, зависимость технологических сил резания от режимов резания по данным эксперимента определяется выражением:

Рz = Срz v ^{a Z} S ^{b Z} t ^gZ;  Рx = Срx v ^aX S ^bХ t ^gХ;

Рy = Срy v ^aУ S ^bУ t ^g ^x.

Кроме того, по повторным наблюдениям можем оценить точность прогноза (дисперсию ошибки) по формуле

,

где m – число точек в плане,

– наблюдение в точке плана, – среднее значение отклика в точке.

В нашем примере дисперсия равна 0,8, что соответствует приемлемой точности.