Студопедия — Родственники
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Родственники

 

В методе Кранка-Николсона экспоненциал матрицы и интеграл аппроксимируются с большей точностью, чем в методе Эйлера:

Подставляя данные выражения в уравнение, получим:

 

 

Умножая слева на получаем:

 

Выражение в правой части считается явно, чтобы найти v(t+dt) нужно дважды решить систему линейных алгебраических уравненений. Это делается методом прогонки.

 

Исходный код программы:

 

#include<iostream>

#include<math.h>

#include<cstdlib>

#include<cstdio>

 

using namespace std;

 

#define sqr(x) ((x) * (x))

 

const int Nx = 40;

const double Nt = 6000;

 

 

double alpha, beta; double dx;

 

double a [Nx], b [Nx], c[Nx];

 

//Умножение вектора u на матрицу (E + lambda*A):

void matrix(double *u, double lambda) {

 

double dx = 1 / double(Nx);

double alpha = -1.0;

double beta = -2.0 + (1 - dx / 2) / (1 + dx / 2);

 

double v [Nx];

for (int i=1; i<Nx-1; i++) {

v[i] = u[i] + lambda * (u[i - 1] - 2.0 * u[i] + u[i + 1]) /sqr(dx) * D;

 

}

v[0] = u[0] + lambda * (beta * u[0] - u[1]) /sqr (dx) * D;

v[Nx - 1] = u[Nx - 1] + lambda * (u[Nx - 2] + u[Nx - 1] * alpha) /sqr (dx) * D;

 

for (int i = 0; i < Nx; i++) u[i] = v[i];

}

 

//Метод прогонки:

void sweep(double *u) {

for (int j = 0; j < Nx - 1; j++){

 

double w = b[j] / a[j];

a[j + 1] -= c[j] * w;

u[j + 1] -= u[j] * w;

}

for (int j = Nx - 1; j > 0; j--) {

double w = c[j - 1] / a[j];

u[j - 1] -= u[j] * w;

u[j] /= a[j];

}

u[0] /= a[0];

}

 

 

int main() {

 

double l=1, tau=1;

double xx = 2 * l / 3.0;

double tt = 5 * tau; //момент выхода из цикла по t

double dx = 1 / double(Nx);

double dt = tau / Nt;

double alpha = -1.0;

double beta = -2.0 + (1 - dx / 2) / (1 + dx / 2);

double D = sqr(l) / tau;

 

double u[Nx];

 

 

//задание начальных условий:

for (int i = 0; i < Nx; i++) {

u[i] = fabs((i + 0.5) * dx - (2*l/3.0)) < l / 10.0? 1.0: 0.0;

}

 

freopen("krahk_nicholson_t", "w", stdout);

 

int Ntt = tt / dt;

 

//Вычисление u в точке 2*l/3:

for (int i = 0; i < Ntt; i++) {

if (i < Nt)

cout << dt * i << " " <<

u[(int) (xx / l * double(Nx))] - (1 - exp(-i * dt / tau))<< '\n';

 

 

double q = 1.0 / tau * exp(-1 * i * dt / tau); //источник тепла в уравнении

double qq = exp(-1 * dt / tau);

 

 

//Вычисление правой части основной формулы:

double v[Nx], w[Nx], p[Nx];

for (int j = 0; j < Nx; j++) v[j] = u[j]; //v(t)

matrix(v, dt / 2);

matrix(v, dt / 2);

 

for (int j = 0; j < Nx; j++) w[j] = qq * q * dt / 2.0; //q(t+dt)

matrix(w, -dt / 2);

matrix(w, -dt / 2);

 

for (int j = 0; j < Nx; j++) p[j] = q * dt / 2.0; //q(t)

matrix(p, -dt / 2);

matrix(p, dt / 2);

 

 

for (int j = 0; j < Nx; j++) v[j] += w[j] + p[j];

 

//вычисление коэффициентов трехдиагональной матрицы:

for (int j = 0; j < Nx - 1; j++) {

a[j] = 1.0 + dt / sqr(dx) * D; b [ j ] = c [j] = -dt / sqr(dx) / 2 * D;

}

a[0] = 1 - dt * beta / 2 / sqr(dx) * D;

a[Nx - 1] = 1 - dt * alpha / 2 / sqr(dx) * D;

 

sweep(v);

 

//вычисление коэффициентов трехдиагональной матрицы:

for (int j = 0; j < Nx - 1; j++) {

a[j] = 1.0 - dt / sqr(dx) * D; b [j] = c [j] = +dt / sqr(dx) / 2 * D;

}

a[0] = 1 + dt * beta / 2 / sqr(dx) * D;

a[Nx - 1] = 1 + dt * alpha / 2 / sqr(dx) * D;

 

sweep(v);

 

 

for (int j = 0; j < Nx; j++) u[j] = v[j];

}

 

 

freopen("krank_nicholson_x", "w", stdout);

 

// зависимость от x:

 

for (int i = 0; i < Nx; i++) {

 

cout << (i + 0.5) * dx << " " << u[i] - (1 - exp(- 1.0 * tt / tau)) << "\n";

}

 

return 0;

 

}

 

При построении данных графиков для обеспечения устойчивости нам хватило Nx=40; Ny=6000.

 

 

 

 

Вывод:

Мы получили решение исходной задачи тремя методами. Графики решений соответствуют физическому смыслу задачи и достаточно хорошо соответствуют друг другу.

Метод суммирования ряда Фурье самый простой по сложности реализации и самый быстрый, но он требует полного аналитического решения задачи, и в этом смысле достаточно трудоемкий. Он вполне годится для построения графиков уже известных решений.

Явный метод Эйлера и метод Кранка-Николсона более сложны в написании и работают медленнее, особенно метод Кранка-Николсона, требующий большого количества вычислений на каждом шаге, но эти методы не требуют знания решения уравнения. Они также позволяют построить график решения с требуемой точностью. Пожалуй, самым эффективным является явный метод Эйлера, так как он требует гораздо меньше вычислений, чем метод Кранка-Николсона, хотя количество разбиений по времени в нем гораздо больше, и дает вполне приемлемую точность. Метод Кранка-Николсона гораздо более дорогой, но он обеспечивает нам безусловно устойчивое решение при достаточно малом количестве точек разбиения по времени.

 

Родственники

На данный момент самыми ближайшими родственниками русского языка являются восточнославянские языки: белорусский и украинский.

Южнославянские языки: болгарский, сербский, хорватский, македонский и словенский.

Западнославянские языки: польский, чешский, словацкий и лужицкий.




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Задание 3. Метод Кранка-Николсона | ОБ АМУЛЕТАХ-ЗМЕЕВИКАХ И ИХ СВЯЗИ С НАТЕЛЬНЫМИ КРЕСТАМИ И ИНЫМИ ПРЕДМЕТАМИ ЦЕРКОВНОЙ КУЛЬТУРЫ

Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 362. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом опреде­ления суточного расхода энергии...

ОЧАГОВЫЕ ТЕНИ В ЛЕГКОМ Очаговыми легочными инфильтратами проявляют себя различные по этиологии заболевания, в основе которых лежит бронхо-нодулярный процесс, который при рентгенологическом исследовании дает очагового характера тень, размерами не более 1 см в диаметре...

Примеры решения типовых задач. Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2   Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2. Найдите константу диссоциации кислоты и значение рК. Решение. Подставим данные задачи в уравнение закона разбавления К = a2См/(1 –a) =...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия