Случайные величины. Под величиной условимся понимать какое-либо физическое или психическое явление, которое относительно совокупности существенных условий характеризуется

Под величиной условимся понимать какое-либо физическое или психическое явление, которое относительно совокупности существенных условий характеризуется совокупностью чисел. Если изменяющимся условиям соответствует совокупность одинаковых чисел, величину называют константой. Если изменяющимся условиям соответствует совокупность чисел, изменяющихся по некоторому правилу, то величину называют переменной. Если при одних и тех же (фиксиро-ванных) условиях величина (безразлично, константа или переменная) принимает одно и только одно числовое значение, будем называть ее неслучайной. Если при фиксированных условиях величина принимает различные числовые значения, заранее неизвестно какие, такая величина называется случайной. Случайная величина – это числовая функция на множестве элементарных событий, где каждому элементарному событию ставится в соответствие число. Случайной величиной называют числовую величину, для которой характерна статистическая устойчивость.

Происхождение и характер погрешностей измерений позволяют их считать случайными величинами. И, как правило, при решении задач теории измерений распределение вероятностей ошибок измерений можно полагать нормальным. Поэтому уделяют столько внимания нормаль-ному распределению. Простейшая ситуация выглядит так: с помощью прибора (или ряда одинаковых приборов) производится несколько измерений одной и той же величины, например длины отрезка ткани, напряжения в цепи или вязкости жидкости.

Здесь часто можно полагать измерения равноточными. Мерой точности измерений при вероятностном подходе служит их дисперсия (или стандартное уклонение (корень квадратный из дисперсии), имеющее размерность измеряемой величины).

Случайные величины, так же как и неслучайные, могут быть дискретными (прерывными) или непрерывными. Это обстоятельство существенно для определения количественных характеристик, поэтому сначала рассмотрим специфику дискретной и непрерывной случайных величин.

Дискретная случайная величина принимает всегда конечное множество целочисленных значений на заданном интервале возможных значений. Это, например, такие случайные величины, как “количество случаев”, “количество людей”, “количество единиц продукции определенного рода” и т.п.

Непрерывная случайная величина принимает теоретически бесконечное множество значений на любом, сколь угодно малом интервале возможных значений. Это, например, такие случайные величины, как “время реакции”, “объем памяти” (в битах), “умственная одаренность” и т.п. Непрерывная случайная величина при практическом использовании всегда квантуется, т.е. приближенно выражается в виде квантованной случайной величины. Квантованная случайная величина определяется уже не бесконечным числом значений, а конечным числом обычно равных интервалов, “внутри” которых переменная остается непрерывной. В этой связи квантованная случайная величина, с одной стороны, похожа на дискретную, но с другой – все-таки остается принципиально отличной от нее.

Сходство в том, что дискретная случайная величина Х задается конечной совокупностью возможных числовых значений X ₁, X ₂,..., X i,..., Х_n и квантованная случайная величина Х_К задается конечной совокупностью возможных числовых интервалов λ₁, λ ₂,..., λ_i, …, λ _n.

Принципиальное различие между этими величинами состоит в следующем. Значения Xi дискретной случайной величины обязательно неотрицательные целые числа, так как они обозначают явления, для которых понятие “часть” (“доля”) не имеет реального смысла (например, выражения “полслучая” или “20,1 человека” бессмысленны). Между парами значений случайной переменной существуют разрывы, поэтому не имеют смысла и разности, и любые части таких разностей, где а > 1. Наоборот, интервалы λ_i квантованной непрерывной случайной величины, адекватно отображая реальность, непосредственно “переходят” друг в друга, так что конец интервала λ_i есть в то же время начало следующего интервала λ_i + 1, т.е. непрерывность сохраняется. Благодаря этому имеют реальный смысл не только любые разности, но и сколь угодно малые доли этих разностей. Это, в свою очередь, позволяет теоретически сколь угодно интерполировать значения непрерывной случайной величины на основе изучения ее в квантованной форме. Но принципиально неверно поступать так с дискретной переменной.

Тот факт, что дискретная случайная величина принимает определенное числовое значение, можно рассматривать как случайное событие и характеризовать возможность его появления вероятностью (частотой и частостью). Тогда дискретную случайную величину Х можно определить как систему из n чисел X ₁, X ₂,..., X i,..., Х_n. Совокупность вероятностей Pi (Хi), сопоставленных значениям Х_i (i = 1,2,..., n) дискретной случайной величины X, образует ряд распределения вероятностей значений случайной величины.

Ряд распределения – это функция, отображающая отдельные значения дискретной случайной величины на вероятности (частоты, частости) их появления. Этот ряд может быть представлен в виде мультимножества или в виде таблицы или “палочковой” диаграммы (рис. 2 а).

Другим способом выражения распределения вероятностей значений дискретной случайной величины является кумулятивный ряд распределения (рис. 2 б).

Кумулятивным рядом распределения будем называть совокупность вероятностей.

Так как множество возможных числовых значений дискретной случайной величины образует полную группу событий, то полная вероятность для ряда распределения равна единице.

Совокупность таких вероятностей (частот, частостей), сопоставленная совокупности интервалов квантованной непрерывной случайной величины, образует полигон распределения или гистограмму распределения вероятностей значений квантованной непрерывной случайной величины.

 

Рис. 2. Графическое представление ряда распределения (а)
и кумулятивного ряда распределения (б).
По оси абсцисс – значения х дискретной случайной величины X;
по оси ординат – вероятности

 

Формально аналитическое, табличное и графическое представления полигона, гистограммы и кумуляты для квантованной случайной величины те же самые, что и для упорядоченной, ранжированной случайной величины. Но здесь имеются два важных отличия. Первое отличие состоит в том, что интервал λ; у квантованной непрерывной случайной величины может быть выражен любым действительным числом, а у ранжированной случайной величины классовый интервал λ; – обязательно целое число. Второе отличие (оно, кстати сказать, обусловливает и первое) состоит в том, что у квантованной случайной величины интервал l точно определен по значению самой величины, тогда как у ранжированной случайной величины классовый интервал семантически фиктивен: он лишь приближенно обозначает интервалы квантования, точные значения которых нам неизвестны. Указанные отличия позволяют гносеологически оправданно осуществить предельный переход от полигона, гистограммы и кумуляты квантованной случайной величины к монотонным функциям, в общем и явном виде выражающим распределения вероятностей значений непрерывной случайной величины, приходящиеся на бесконечно малый интервал значений непрерывной случайной величины. Рассмотрим “элементарную” трапецию полигона распределения, схематично изображенного на рис. 3.

Рис. 3. Схематическое изображение полигона распределения вероятностей квантованной непрерывной случайной величины

 

По оси абсцисс находятся значения х непрерывной случайной величины X; по оси ординат – значения плотности вероятности; X _min ÷ X _mаx – область определения величины X. Заштрихована “элементарная” трапеция; λ; – интервал квантования и высота трапеции f΄;(х_i) – ее средняя линия. Площадь заштрихованной на рисунке трапеции численно равна вероятности того, что случайная величина “попадает” в интервал λ;. Если уменьшать интервал квантования λ; до бесконечно малой величины, то получим f (хi), которое называют теоретической плотностью вероятности.

Очевидно, что каждому из бесконечно малых интервалов квантования dx непрерывной случайной величины Х соответствует некоторое значение теоретической плотности вероятности f ΄(х), а совокупности таких значений соответствует совокупностьплотностей. Функцию, устанавли-вающую соответствие между бесконечно малыми интервалами квантования dx и плотностями f ΄(х),будем называть функцией плотности распределения вероятностей значений непрерывной случайной величины, сокращенно – плотностью вероятностей, и обозначать f (x). Функция плотности, таким образом, – это предел, к которому стремится ломаная линия, ограничивающая сверху полигон или гистограмму распределения при устремлении интервала квантования λ; к нулю.

Аналогичный предел можем получить и для кумуляты. Для этого нам, в сущности, необходимо найти сумму бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых есть вероятность f ў(х) dx появиться значению х на бесконечно малом интервале dx.

Функция F(x) называется интегральной функцией распределения вероятностей значений х непрерывной случайной величины X, сокращенно – функцией распределения. Она показывает вероятность того, что случайная величина будет меньше или не превзойдет одно из возможных значений; соответственно F(x) = Р(Х ≤ х).

Очевидно, что все бесконечное множество значений непрерывной случайной величины образует полную группу событий.

Для практики более важной является дифференциальная функция распределения Р(х). Эта функция уже рассматривалась для систем упорядоченных числовых событий. Ее элементами служат вероятности (частости) появления значений случайной величины на конечных интервалах группировки данных. Заметим, что эмпирическую плотность вероятности можно рассматривать как вероятность, выраженную в единицах интервала квантования. Аналогично и вместо теоретической функции распределения используется эмпирическая функция, в качестве которой выступает кумулята.