Студопедия — Интегрирование иррациональных функций
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интегрирование иррациональных функций






Интегралы от иррациональных функций обычно приводят с помощью соответствующих замен или преобразований к интегралам от рациональных функций или сразу к табличным интегралам. При выборе методов решения полезны следующие правила.

 

1. Интегралы вида

,

где R – рациональная функция; , ,

преобразуются к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное чисел .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является иррациональной функцией. Сделаем замену , откуда

= .

Подынтегральная функция полученного интеграла является неправильной рациональной дробью. Разделив числитель на знаменатель, получим

,

откуда

= = =

 

2. Интегралы вида путём выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам

или .

3. Интегралы вида путём выделения в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, раскладывают на сумму двух интегралов

= =

= ,

из которых первый – табличный, а второй рассмотрен выше.

 

Пример. Найти интеграл .

Решение. Аналогично вычислению интеграла III типа от рациональной функции, выполним три вспомогательных действия.

1) Обозначим квадратный трехчлен, стоящий под знаком корня, через = t 2, откуда, дифференцируя, получим , или .

2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:

.

3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

= .

Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов

= = .

Первый из полученных интегралов вычислим с помощью замены = t 2, второй – табличный. Окончательно получим:

= .

 

4. Для интегралов вида , где m, n, p – рациональные числа, точное решение может быть найдено только в трёх случаях:

1) p – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

3) – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – знаменатель дроби p.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Заданный интеграл можно представить в виде:

.

Тогда m = -3, a = 2, b = -1, n =3, p = -1/3; p Z, ,

используем подстановку :

, откуда, дифференцируя, получим , или .

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

,

тогда

= =

=

 

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 559. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия