Интегрирование тригонометрических функций

Если подынтегральная функция в неопределённом интеграле является тригонометрической, то её преобразуют с помощью тригонометрических формул к табличному виду, или используют различные подстановки.

При выборе подстановок для вычисления интеграла вида

,

где R – рациональная функция, рекомендуется использовать следующие правила.

1. Если - нечётная функция относительно sin x, то интеграл преобразуется к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки .

 

2. Если - нечётная функция относительно cos x, то интеграл преобразуется к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки .

3. Если - чётная функция относительно sin x и cos x, то интеграл преобразуется к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки . При этом имеем:

, откуда ;

; .

4. Универсальная тригонометрическая подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции. При этом имеем:

, откуда ;

; . .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку , тогда

=

= .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является чётной, поэтому применив подстановку , получим

= .

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается непосредственное интегрирование?

2. В чем заключается метод интегрирования с помощью замены переменной в неопределенном интеграле?

3. В каких случаях применяется формула интегрирования по частям?

4. В чем заключается интегрирование рациональных функций?

5. В чем заключается метод неопределенных коэффициентов?

6. В чем заключается интегрирование иррациональных функций?

7. В чем заключается интегрирование тригонометрических функций?

 

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.