Неявный метод Эйлера

 

Как и прежде рассматриваем задачу Коши:

.

Неявный метод Эйлера описывается формулой:

, (8.11)

где . Как видим, в отличие от обычного, явного метода Эйлера искомая величина входит также и в правую часть уравнения (8.11). Поэтому на каждом шаге приращения аргумента необходимо решать уравнение относительно . Достоинством неявного метода Эйлера является то, что он устойчив при любом выборе шага приращения аргумента.

Неявный метод Эйлера может быть получен из интегрального уравнения (8.5):

, –

если подынтегральную функцию заменить константой .

Пример 8.10. Найдем решение начальной задачи:

, –

неявным методом Эйлера.

Неявный метод для данного уравнения описывается формулой:

.

Отсюда

и .

Пример 8.11. Найдем неявным методом Эйлера решение начальной задачи:

.

В примере 8.2 эта задача была решена явным методом Эйлера. Неявный метод описывается формулами:

или

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим:

(8.12)

Решение в среде Mathcad на отрезке показано на рис. 8.6. Итерационный процесс в соответствии с формулами (8.12) записан в векторной форме. Шаг приращения аргумента полагается равным , где – число точек на отрезке интегрирования. Окончательная матрица содержит в первой строке значения , во второй и третьей строках – приближенные значения и , в четвертой и пятой строках – точные решения .

 

Из сравнения с рис.8.2 видим, что неявный метод для данной задачи оказывается более точным.