Системы счисления

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Пример. Найти произведение двоичных чисел: 101₂ и 110₂. Выполним произведение чисел в столбик, начиная с младшего разряда:

_*101 Проверка: 101₂=1*2²+0*2¹+1*2⁰=5

´ 110 110₂=1*2²+1*2¹+0*2⁰=6

+101

101

11110₂= 1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰=16+8+4+2+0=30₁₀, т.е. 5*6=30

Рассмотрим процесс умножения поэтапно.

1. Умножая на младший разряд по таблице, имеем 000.

2. Умножая на следующий разряд, получаем 101, но со сдвигом на один разряд влево.

3. Умножая на старший разряд, получаем также 101, но со сдвигом на один разряд влево.

4. Теперь с учетом таблицы сложения двоичных чисел складываем и получаем результат 11110₂.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задания: Представьте в виде суммы степеней основания числа:

1. 11010101₂ 6. 1101,011₂

2. 11111010₂ 7. 0,100101₂

3. 10101011₂ 8. 11,10101₂

4. 11100101₂ 9. 111,10100₂

5. 11101001₂ 10. 101,10001₂

 

2. Задания: записать следующих двоичных чисел в восьмеричной системе

1. 11110110011₂ 6. 1101010,1100₂

2. 110110101₂ 7. 1010110,0101₂

3. 110100110₂ 8. 11010,01101₂

4. 10100110₂ 9. 1000,1101₂

5. 1000011₂ 10. 11101,001₂

3. Задания: записать следующих двоичных чисел в шестнадцатеричной системе 1 1. 1 111110101010₂ 6. 101010101,11001₂

2. 1101010100111₂ 7. 101010101,1010101₂

1. 10001110101₂ 8. 1010111,01010₂
2. 1010011011₂ 9. 11111,11000₂
3. 1001010011₂ 10. 101,1011011₂

4. Задания: Выполните сложение:

1. 0110+0110= 6. 1101+0110=

2. 11001+10111= 7. 1010+011=

3. 10001+11101= 8. 10111+1011=

4. 11001+11100= 9. 111010+1110=

5. 11000+11101= 10. 110011+100011=

5. Задания: Выполните вычитание:

1. 11010-01101= 6. 10111-1001=

2. 1101-0110= 7. 111011-11001=

3. 1101-111= 8. 10111-11100=

4. 10001-1011= 9. 11110-1001=

5. 11011-1001= 10. 101011-10111=

6. Задания: Выполните умнажение:

1. 1011´110= 6. 1101´101=

2. 11001´111= 7. 1010´101=

3. 0101´10= 8. 10001´111=

4. 1000´101= 9. 1110´1001=

5. 10111´1100= 10. 11011´100=

Самостоятельная работа студента:

Задания. Заполните таблицу:

	Десятичная с.с.	Двоичная с.с.	Восьмеричная с.с.	Шестнадцатиричная с.с.
I-Вариант	358,95
			164А
I I -Вариант	634,67
			7АС
I I I -Вариант	582,02
			1Ғ6Е
IV-Вариант	369,025
			4D61
V-Вариант	468.15
			2D4A
VI-Вариант	654.27
			5AD
VII-Вариант	286.52
			1D8E
VIII-Вариант	492.025
			4C61
IX-Вариант	417.75
			952F
X-Вариант	744.67
			78FC
XI-Вариант	542.92
			4D67

Контрольные вопросы:

1. Что называют двоичной системы счисления?

2. Что такое двоичное число?

3. Каждый разряд двоичного числа как называется?

4. Как можно перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления?

5. Как можно перевести положительную десятичную дробь в двоичную?

 

Лабораторная работа № 3

Системы счисления

Определение: Под системой счисления понимается способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков.

 

Системы счисления делятся на:

• Позиционные, в которых значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (или разряда).

Например, десятичная система счисления. В зависимости от позиции цифры в числе, она может отвечать за десятки, сотни, тысячи и т.д.

 

Рассмотрим число 567.

В нем цифра 5 стоит в разряде сотен, то есть получаем 5 х 100= 500

ИЛИ, 5 х 10² = 500

Цифра 6 стоит на позиции десятков, получаем 6 х 10 = 60

ИЛИ, 6 х 10¹ = 60

Цифра 7 стоит в разряде, соответствующем единицам, то есть имеем 7 х 1= 7

ИЛИ 7 х 10⁰ = 7

 

Сложив все значения на позициях (по разрядам), получим:

5 х 10² + 6 х 10¹ + 7 х 10⁰ = 567

 

Рассмотрим число 56.

В нем, в отличии от предыдущего примера, цифра пять означает пятьдесят, а цифра 6 – 6 единиц.

 

• Непозиционные,в которых значение каждого знака не зависит от расположения этого знака в числе.

 

Примером непозиционной системы счисления является Римская система счисления. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита.

I - означает "один";
V - означает "пять";
X - означает "десять";
L - означает "пятьдесят";
C - означает "сто";
D - означает "пятьсот";
M - означает "тысяча";
Для записи чисел в римской системе используются два правила:
1- каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;
2- каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

 

Рассмотрим Двоичную систему счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

 

Для записи чисел в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1.

Именно поэтому она используется в электронных устройствах, принцип работы которых основан на присутствии двух устойчивых состояний: высокое напряжение – низкое напряжение, есть ток – нет тока, намагничено – ненамагничено и т.д.

 

 

Форму записи числа в двоичной системе счисления рассмотрим на примере:

Пусть нам дано следующее число 1001₂

Индекс 2 в конце записи указывает на то, в какой системе счисления записано число.

То есть, числа 1001₂ и 1001₁₀ – это два разных числа в различных системах счисления.

 

Число 1001₁₀ в десятичной системе счисления означает «одна тысяча один»

Переведем число 1001₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Для этого найдем сумму разрядов числа, как мы делали в примере с числом 567. Но вместо степени числа 10, будем использовать степень числа 2:

 

1001₂ = 1 х 2³ + 0 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9₁₀

 

То есть, число 1001₂ в двоичной системе счисления – есть число девять в десятичной системе счисления.

Аналогично выполняется действия для перевода из системы счисления с заданным основанием в десятичную. Необходимо только вместо числа 2 подставить основание заданной системы счисления.

 

Обратный перевод, из десятичной системы счисления в двоичную, выполняется по следующему алгоритму: необходимо делить число на основание системы счисления 2 до тех пор, пока частное от деления не станет меньше основания системы счисления (то есть, пока оно не будет равно 0 или 1), а остатки от деления на промежуточных этапах фиксировать по порядку. Для получения результата надо записать частное от деления (0 или 1), а далее все остатки от деления в обратной последовательности.

 

Рассмотрим пример, переведем число 11₁₀ в двоичную систему счисления:

11: 2 = 5, остаток 1

5: 2 = 2, остаток 1

2: 2 = 1, остаток 0

частное от последнего деления равно 1, это меньше основания системы счисления (1<2), поэтому деление останавливаем и записываем полученное число, вначале частное от деления, далее остатки в обратном порядке: 1011₂

 

Проверка: 1 х 2³ + 0 х 2² + 1 х 2¹ + 1 х 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀