Задания к экзаменам. Числовые ряды. Основные понятия

Ряды

Числовые ряды. Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида

где числа а₁, а₂, а₃…., а_n, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность.

1. Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю:

Если то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

 

1. Достаточные признаки сходимости положительных рядов:

- Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; Исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующих членов другого, заведомо расходящегося ряда.

 

Пример.

Решение.

Имеем

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда, следовательно, ряд расходится. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится.

значит данный ряд расходится.

 

 

- Признак Даламбера:

Если существует предел , то ряд сходится. Если предел , то ряд расходится. Если предел , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

 

Пример.

Решение.

ряд сходится.

 

Решение.

 

ряд расходится.