Пример: из 2-й в 8-ю

Пример: Число EE8₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

1110 1110 1000₂

ü Перевод в десятичную систему счисления

Примеры:

112₃ = 1 · 3² + 1 · 3¹ + 2 · 3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀

101101₂ = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀

AF7₁₆ ð 10*16²+15*16¹+7*16⁰ ð 2560+240+7 ð 2807₁₀

Дроби

ü Перевод дробей из произвольной системы счисления в десятичную

Пример: перевод двоичного числа 1100,011₂ в десятичное.

Целая часть 1100₂=1*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰=8+4=12₁₀

Дробная часть 0,011₂ = 0 * 2^-1 + 1 * 2^-2+ 1* 2^-3 = 0+1/4+1/8=0 + 0,25 + 0,125=0,375₁₀

число 1100,011₂ = 12,375₁₀.

!!Аналогично осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится соответствующее основание системы.

 

Пример: из 2-й в 8-ю

110 100 101 =645₁₀

6 4 5

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА.

Применяется для облегчения чтения записи двоичных кодов. Т.К. основанием является 16, что составляет 2⁴, то для перевода из двоичной в шестнадцатеричную двоичное число разбивается на 4-х битовые группы, называемые тетрадами.

 

b=10

b=16

a

b

c

d

e

f

 

Пример:

1011 1110 1111 1001 1101 1000 = bef9d8

b e f 9 d 8

ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ (АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА). ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

1. Поделить данное число на основание новой системы.

2. Перевести остаток от деления в новую систему исчисления.

Получится младший разряд нового числа.

3. Если частное от деления больше основания системы, то продолжить

деление, второй остаток от деления даст 2-й разряд и т.д.

Перевести 256 из 10-й в 8-ую.

 

256 8

24 32 8

16 32 4 256₁₀=400₈

16 0 400₈=4*8²=256₁₀

0

Перевести 397 из 10-й в 16-ую.

397 16

32 24 16

77 16 1 397₁₀=18D₁₆

64 8

13

 

18*d=1*16²+8*16¹+13*16⁰=256+128+13=397₁₀

 

Перевод дробной части

1.Умножить дробную часть на основание новой системы исчисления.

2.В полученном произведении выделить целую часть числа. Это будет старший разряд искомого числа.

3.Дробную часть произведения снова умножить на основание системы.

Целая часть будет следующим разрядом.

4.Выполнять умножение до получения необходимого количества разрядов.

Пример:

0,784₁₀ перевести в двоичную

 

0,784

2 0,784₁₀=0,11001₂

1,568

2

1,136

2

0,272

2

0,544

2

1,088

 

Перевести:

0,6125 в 8-ую

 

0,6125

8 0,6125₁₀=0,47146₈

4,9000

8

7,2000

1,6000

4,8000

 

Перевести: 0,378 в 16-ую

 

0,378

16 0,378₁₀=0,60c4₁₆

2,268

6,048

288

0,768

12,288

16

4,608

Для перевода из одной системы в другую смешанного числа, необходимо отдельно перевести целую и дробную части.

ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА

Образуется заменой каждого десятичного разряда 4-х битовым представлением.

Пример:

7 4 3 5 (7435₁₀)

0111 0100 0011 0101_10-2

Пример: перевести 01100101 в двоичный эквивалент.

Представим данное число через веса его разрядов:

0110*10¹ + 0101*10⁰=0110(8+2)+0101

Для упрощения умножения выразим весовой коэффициент 10 в виде (8+2). Учитывая, что умножение на 8 есть сдвиг на 3 разряда влево, а

на 2 - на 2 разряда влево, то получим.

1000001

1=1

2=2¹

8=2³

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ (СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ)

Правило выполнения арифметических операций над двоичными числами задается соответствующими таблицами двоичного сложения, вычитания и умножения.

ТАБЛИЦА 2-ГО СЛОЖЕНИЯ.

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0+1

ТАБЛИЦА 2-ГО ВЫЧИТАНИЯ.

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 с учетом из старшего разряда взяли единицу

ТАБЛИЦА 2-ГО УМНОЖЕНИЯ.

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Двоичное сложение выполняется по тем же правилам, что и десятичное, за исключением того, что перенос в следующий разряд производится, как сумма достигнет 2-х.(1+1)

Пример:

11,25 1011,01

13,50 1101,10

24,75₁₀ 11000,11₂

 

При вычитании 2-х чисел в данном разряде при необходимости

(когда цифра в разряде вычитаемого больше в том же разряде цифры уменьшаемого) занимается единица из следующего старшего разряда.

Эта занимаемая единица равна 2-м единицам данного разряда.

Пример:

13,50 1101,10

11,25 1011,01

2,25₁₀ 0010,01

 

Умножение 2-х много разрядных чисел выполняется образованием частичных произведений и их последующим суммированием.

Согласно таблице двоичного умножения каждое частичное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит ноль или равно множимому, сдвинутому на определенное число разрядов влево, если в разряде множителя записана еденица. Таким образом, операция умножения могоразрядных 2-х чисел сводится к операции сдвига и сложения. Положение запятой определяется также, как и при умножении десятичных чисел.

Пример:

11,5 10111

5,25 10101

60,375₁₀ 10111

10111

111100011₂

 

Деление:

Производится аналогично десятичному делению.

Пример:

12,375 2,25 1100,011 10,010

5,5 10010 101,1

10010

10010

Двоичное дополнение числа.

Мы рассмотрим примеры арифметических операций, в которых используются прямые ходы. В персональных компьютерах при выполнении операции вычитания и сложения отрицательных чисел используются не прямые, а дополнительные коды, что позволяет заменить операцией сложения.

Чтобы получить дополнительный ход необходимо:

1) получить обратный код, который образуется инвертированием каждого разряда двоичного число.

прямой код: 010 110 101 011 обратный код: 101 001 010 100

2) образовать дополнительный код, который равен сумме обратного кода и еденице младшего разряда.

101 001 010 101

Пример вычитания чисел с помощью дополнительного кода.

7-3=4

0111 0111

0011 1101

 

Единица переноса из старшего разряда отбрасывается.

Поскольку число 9 можно представить только в четырех битовым

двоичным числом, поэтому в операциях с дополнительным ходом числа всегда дополняются до четырех битового числа.

Над двоично-десятичными кодами также можно выполнять арифметические операции. При этом в результате выполнения арифметических операций получают значения запрещенных кодов, то используется прибавление или вычитание корректирующего кода.

Причем прибавление, если мы складывали, вычитание, если отнимали. Значение корректирующего кода в двоичной системе равно 0110.

ТАБЛИЦА ЗАПРЕЩЕННЫХ КОДОВ.

2 10

1010 10

1011 11

1100 12

1101 13

1110 14

1111 15

Коды являются запрещенными, потому что в десятичной системе эти числа дают перенос в старший разряд, а двоично-десятичная система использует по четыре бита на каждый десятичный разряд, поэтому эти комбинации оказываются лишними и не используются.

Пример на сложение и вычитание

5+3=8₁₀ 7+5=12

1001 0111

0011 0101

1000 1100 – запр.

0110 – коррект.код

00010010₂

 

17+5=22 15-7=8

 

0001 0111 1111 0001 0101

0101 0111 0111

0001 1100 1000₂ = 8₁₀ 0000 1110

0110 0110

0010 0010₂ 0000 1000_10-2 = 8