Основные теоремы дифференциального исчисления

 

Теорема Ролля. Пусть функция у= f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывная на отрезке ;

2) дифференцируема в интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда в середине отрезка существует хотя бы одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

С геометрической точки зрения это означает, что если функция у= f(х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то в середине отрезка обнаружится хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. На рис. 5.6 таких точек две: и .

Если , это теорема Ролля утверждает, что между двумя последовательными нулями дифференцируема функции есть хотя бы один нуль производной.

Все требования теоремы Ролля являются существенными и при невыполнении хотя бы одной из них вывод теоремы может быть неверным, что легко увидеть с помощью геометрической иллюстрации.

Рис. 5.7

На рис. 5.7, а – нарушено условие непрерывности на отрезке ;

на рис. 5.7, бы - нарушено условие дифференцируемости на интервале ;

на рис. 5.7, в - нарушено условие .

В результате ни в одном случае не существует такой точки , в которой .

Теорема Ролля есть частным случаем теоремы Лагранжа.

ТеоремаЛагранжа (о конечном приращении функции). Пусть функция у= f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда в середине отрезка существует хотя бы одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть

(5.25)

Введем новую функцию следующим образом:

Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает на его концах равные значения:

Значит, существует точка , такая, что , или , ведь откуда .

Формула (5.25) может быть переписана в виде . (5.26)

Выясним содержание теоремы Лагранжа. Приращение - это изменение функции на ; - это средняя скорость изменения функции на этом отрезке; значения производной в точке - это мгновенная скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка в середине отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрическое содержание вытекает из рис. 5.8.

 

Если передвигать прямую АВ параллельно начальному положению, то обнаружится хотя бы одна точка , в которой касательная к графику и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны. (Так как угловой коэффициент секущей АВ ,

а касательной ).

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке Х,это функция тождественна постоянной на этом промежутке.

Рассмотренные теоремы используются для доказательства многих теоретических положений, результаты которых уже непосредственно используются для решения практических задач.

Следующая теорема имеет именно такой характер, она дает практическое правило для раскрытия неопределенностей вида или . Сформулируем ее.

Теорема 5.8 (правило Лопиталя). Пусть и - непрерывны и имеют производные во всех точках из окрестности точки , а в точке равны нулю или бесконечности. Тогда предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если последняя существует, то есть

. (5.27)

Если отношение снова является неопределенностью вида или и производные и удовлетворяют условиям правила Лопиталя, то для вычисления предела можно применить правило Лопиталя вторично и так далее.

Пример 5.1. Вычислить предел

Решение.

Имеем неопределенность типа . По правилу Лопиталя

Пример 5.2. Вычислить

Решение.

Имеем неопределенность типа . Используя правило Лопиталя раз, получим

 

5. Применение производной к исследованию функции и построения ее графика