Понятие энтропииВсё, что нам удалось выяснить выше, позволяет утверждать, любая тепловая машина представляет собой некую систему тел, многократно повторяющую один и тот же цикл. Из уравнений (21) и (27) следует, к.п.д. необратимой машины всегда меньше чем обратимой. Дествительно, уменьшение эфективности необратимой машины обусловлено тем, что при достаточно быстром цикле давление не успевает выравниваться и при расширении давление газа под поршнем будет меньше чем то, которое было при аналогичном положении поршня в обратимом цикле, а при сжатии, наоборот – несколько больше. В результате положительная работа необратимой машины при расширении уменьшается, тогда как отрицательная работа при сжатии увеличивается. Кроме того, трение, которое нельзя исключить, всегда связано с превращением работы в теплоту, а потому является типичным необратимым процессом. Из-за трения часть работы превращается в тепло, которое перейдёт холодильнику или рассеется в окружающую среду. Таким образом, соотношение между к.п.д. необратимой и обратимой тепловой машиной можно записать аналитически следующим образом: (28) Левая часть равенства отражает общее определение к.п.д., пригодное для любой тепловой машины, правая часть отражает к.п.д. обратимой машины. Естественно, знак равенства будет соответствовать обратимой, а знак неравенства – необратимой машине. Разделив почленно в левой и правой частях выражении (28), а затем умножив обе части на –1, настойчивый читатель получит соотношение: Сгруппировав слева термодинамические величины холодильника, а справа – нагревателя, читатель получает соотношение вида: (28.а) Наконец, вычитая из левой и правой частей уравнения (28.а) , приходит к выражению: (29) В соотношение (29) входит как тепло получаемое системой, так и тепло отдаваемое ею. Если рассматривать теплоты, получаемые системой от других тел как алгебраические величины, т. е. выражение (29) окончательно примет следующий вид: (30) Это соотношение носит название неравенства Клаузиуса. Поскольку отношение Q / Т принято называть приведённым количеством тепла, содержание уравнения (30) можно прочесть следующим образом: если какая-то система совершает цикл, в ходе которого вступает в теплообмен с двумя тепловыми резервуарами, температуры которых постоянны, то сумма приведённых количеств тепла равна нулю, если цикл обратим, и меньше нуля, если цикл необратим.
Здесь – теплота, полученная рабочим веществом на i -ом участке расширения при температуре ; – теплота, отданная рабочим веществом на i- ом участке сжатия при температуре . Суммируя все эти равенства, получим (31) Переходя к бесконечно большому числу бесконечно узких циклов (число циклов n стремится к бесконечности, рис. 8.3.), обнаружим, ломаная линия превращается в кривую ABCDA, а сумма формулы (31) – в интегралы: (32) Из равенства нулю интеграла (32) следует, что подынтегральное выражение, – приведённое количество тепла, представляет собой некую функцию, зависящую только от состояния системы, но не зависящую от пути, каким система пришла в это состояние. Эта функция, введённая в рассмотрение в 1865 г. Клаузиусом, была названа им энтропией (S). Следует заметить, таким же свойством, быть характеристикой состояния системы, обладает сумма приращений внутренней энергии системы. Как и внутренняя энергия, энтропия определяется с точностью до произвольной постоянной. Опыт нам даёт значение разности приращения энтропии. Поскольку энтропия – функция состояния, сумма приращений энтропии должна быть равна разности значений энтропии в конечном и начальном состояниях: (33) Энтропия – аддитивная (прибавляемая) величина, что означает, энтропия системы равна сумме энтропий отдельных её частей. Введение понятия энтропии даёт ответ на вопрос, в каком направлении будет протекать реальный тепловой процесс: возможны лишь такие процессы, которые ведут к увеличению энтропии изолированной системы – принцип возрастания энтропии. Можно считать, что это ещё одна формулировка второго начала термодинамики. Первая формулировка состояла в том, что получение заданного количества работы возможно только в том случае, если часть тепла передана холодильнику. В качестве примера принципа возрастания энтропии рассмотрим процесс теплообмена, протекающий в изолированной системе между телом с температурой Т 1 и телом с температурой Т 2 < Т 1. Первое отдаёт количество тепла –D Q, а второе получает количество тепла +D Q. Этот процесс необратим и должен сопровождаться возрастанием энтропии. Для простоты преобразований предположим, что теплоёмкость обоих тел одинакова и равна С. Из закона сохранения внутренней энергии следует: U 1 + U 2 = U, тогда значение установившейся температуры: здесь следует учесть, что внутренняя энергия может быть представлена в виде: U = С × Т, соответственно; читатель должен проделать самостоятельно. Процесс охлаждения тела с температурой Т 1 сопровождается уменьшением его энтропии: Обратим внимание читателя на то, что Т 2 < Т уст. < Т 1, отсюда немедленно следует, тело с более высокой температурой охлаждается и D S 1 – отрицательно; Т уст. < Т 1, а логарифм числа меньшего единицы – отрицателен. Процесс нагревания второго тела сопровождается увеличением его энтропии: Поскольку Т 2 < Т уст., D S 2 – положительно, так как под логарифмом число больше единицы; убедились? Изменение энтропии системы запишется: (34) Если учесть, что логарифм частного равен разности логарифмов, а сумма логарифмов равна логарифму произведения, то читатель, заботящийся о себе, а потому проведя простые, но весьма нужные, преобразования в уравнении (34), придёт к выражению: Наконец, проделав ещё раз математическую операцию, разность логарифмов равна логарифму частного, окончательное выражение для приращения энтропии системы в процессе теплообмена двух тел примет вид: (35) Если в выражении (35) под логарифмом число больше единицы, то логариф его положителен и, следовательно, энтропия системы возрастает, D S > 0. Покажем, что выражение (35) действительно больше нуля. Для этого преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма с учётом того, что ; возведём его в квадрат, прибавим и одновременно вычтем 2× Т 1× Т 2, выражение под знаком логарифма примет вид: Пытливый читатель, разделив его почленно на знаменатель и обнаружив квадрат разности, приходит к выражению: Очевидно, что полученное выражение больше единицы, логарифм его положителен, следовательно энтропия системы возрастает. Вдумчивы читатель не должен избегать приведённых преобразований, поскольку они содержатся в основном курсе физики, а потому при изучении его будет сам себе благодарен, что не поленился когда-то вникать в предлагаемые преобразования. Завершая экскурс в раздел «Круговые процессы», перечислим его ключевые понятия: замкнутые циклы, к.п.д. цикла, второе начало термодинамики, обратимый процесс, энтропия.
|