Студопедия — Text. 6. Mathematical Proof
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Text. 6. Mathematical Proof






A proof is a demonstration that some statement is true. Maths involves proofs and it is even doubted by some people whether “proof’ in the precise and rigorous sense which the ancient Greek mathematicians gave to this word, is to be found outside maths. We may say that this sense did not change because what constituted a proof for Euclid is still a proof for us. It is to the Greeks that modem mathematicians turn again for models of proof.

The Greeks were the first to apply the deductive procedures developed by the Greek philosophers in maths. They are credited with the use of deductive methods of proof in geometry instead of intuition, experiment and trial-and-error methods of the Egyptians. Philosophers and mathematicians do not reason and prove as do scientists on the basis of personally conducted experiments. Rather their reasoning centres about abstract concepts and broad generalization. Deduction as a method of obtaining conclusion has many advantages over reasoning by induction and analogy. Some historians claim that it was the discovery of the incommensurable line segments that forced the Pythagoreans to accept the axiomatic and synthetic approach in math proofs (i.e., an approach without using numbers) and led to the method of deriving theorems from axioms. The Greeks insisted that all math conclusions should be established by deductive reasoning only.

Math proof, thus, demands a specific kind of reasoning. In a formal math proof the mathematician cannot rely on his intuition, insight and imagination. He must reason logically and start with (1) the definitions of basic concepts for the theory involved, (2) axioms (or postulates) and (3) deduce a conclusion without making further assumptions. By analysis of the mechanism and structure of proofs we can see that the main feature of formal math proofs is that every statement in the proof must be justified by referring to (a) definition; (b) axioms (or postulate); (c) chain substitution; (d) the theorem already proved.

An important property of the equality is that of substitution, e.g., if a=b and b=c, then a=c (a,b,c are natural numbers). We can express this in words by saying that “natural numbers equal to the same natural number are equal to each other” (axiom). (1893)

Vocabulary

statement утверждение
turn for обращаться за
instead of вместо
to reason рассуждать
to obtain = to get
to conclude - conclusion  
advantage over преимущество над
approach подход к проблеме
to derive from выводить из
to insist on настаивать на
to establish устанавливать
to rely on полагаться на
to deduce выводить, делать вывод
feature особенность, черта
to justify оправдывать, подтверждать

 

1. Answer the following questions:

1) What is a proof in mathematics and what does it involve?

2) How did ancient Greek regard the problem of proof?

3) What procedures did they apply?

4) What are they credited with?

5) What does their reasoning centre around?

6) What forced the Pythagoreans to accept the axiomatic and synthetic approach in proofs?

7) What kind of reasoning does math proof demand?

 

2. Find English equivalents for the following Russian word combinations:

важное свойство равенства, главная особенность доказательства, ссылаться на определение, доказать теорему, вместо (взамен) интуиции, несоизмеримые отрезки, принять подход к доказательству, получить вывод (заключение), проводить опыты, приписывать кому-либо использование методов, широкое обобщение, заставить принять метод, обращаться за моделями доказательства, полагаться на интуицию и воображение, определение основных понятий.

3. Translate into English.

1) Основная черта математического доказательства должна подтверждаться ссылками на а) определения, b) аксиомы, c) цепочку замен и на уже доказанные теоремы.

2) Важное свойство равенства – это замена (подстановка).

3) Мы можем выразить это следующими словами.

4) Дедукция – один из методов получения заключения.

5) Именно открытие несоизмеримых линейных отрезков заставило пифагорийцев принять новый подход к математическому доказательству.

6) То, что было доказательством для Евклида, остается им и для нас.

 

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 960. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия