Отношением натуральных чисел.

Решение 3). 0,4(3)= - рациональное.

Решение 5). 0,52(3)= - рациональное.

Решение 7). Число иррациональное, так как десятичная дробь не периодическая (убедиться в этом).

Ответ: 2); 4); 6); 8) не рациональное.

Доказать, что следующие числа: 1); 2); 3); 4) не являются рациональными.

Решение 1). От противного. Пусть несократимая дробь. Тогда.. Правая часть делится на 3, то есть.. Левая часть этого равенства делится на 3, следовательно, дробь сократимая. Получили противоречие. Что и требовалось доказать.

Решение 3). От противного. Пусть... Получили противоречие, так как правая часть последнего равенства не делится на два.

Сравнить числа: 1) и; 2) и.

Решение 1). Пусть..... Предположение верно (каждый раз обе части неравенства возвышали в квадрат).

Ответ 2): равные.

4. Методом математической индукции доказать равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

Бином Ньютона. Здесь,,..

Справка. Пусть даны утверждения. Если утверждение верно и если из справедливости следует справедливость, то все утверждения справедливы. Эту аксиому и называют математической индукцией.

Решение 1). При формула верна. Пусть формула верна при. Возьмём. Тогда имеем, то есть формула осталась прежней. Что и требовалось доказать.

Решение 3). При формула верна. Предположим, что она верна при . Возьмём . Тогда получим = , то есть формула осталась прежней.

5. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7); 8).

Ответ: 1) 35; 2) 10; 3) 210; 4) 220; 5) ;

6) ;

7) ;

8).

6. Доказать равенства: 1) ;

2); 3); 4).

Указание. Воспользоваться формулой примера 4.4).