Проверка истинности тождеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна

Все законы алгебры множеств можно наглядно представить и доказать, используя диаграммы Эйлера-Венна. Для этого необходимо:

1. Начертить соответствующую диаграмму и заштриховать все множества, стоящие в левой части равенства.

2. Начертить другую диаграмму и сделать то же для правой части равенства.

3. Данное тождество истинно тогда и только тогда, когда на обеих диаграммах заштрихована одна и та же область.

Замечание 3.1. Два пересекающихся круга делят всё универсальное множество на четыре области (см. рис.3.1)

1. А Ç В;

2. А Ç ;

3. Ç В;

4. Ç .

 

Рис.3.1

Замечание 3.2. Три пересекающихся круга делят всё универсальное множество на восемь областей (см. рис.3.2):

 

I. А Ç В Ç С;

II. А Ç В Ç ;

III. А Ç Ç С;

IV. А Ç Ç ;

V.

Рис.3.2

Ç В Ç С;

VI. Ç В Ç ;

VII. Ç Ç С;

VIII. Ç Ç .

Замечание 3.2. При записи условий различных примеров часто используются обозначения:

Þ - из … следует…;

Û - тогда и только тогда, когда….

Задача 3.1. Упростить выражения алгебры множеств:

1) ;

2) ;

3) .

Решение.

1) ;

2)

3)

Задача 3.2. Доказать тождества:

1) (АÈВ)\В = А\В;

2) АÇ(ВÈС) = А\(А\В)Ç(А\С).

Решение.

1)

2)

 

Задача 3.3. Доказать следующие соотношения двумя способами: с помощью диаграмм и с помощью определения равенства множеств.

а)

б) AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);

в)

г)

Решение.

а)

1. Доказательство с помощью диаграммы:

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

По определению, множества Х и Y равны, если одновременно выполнены соотношения: XÍY и YÍX.

Сначала покажем, что . Пусть х – произвольный элемент множества , то есть х Î . Это означает, что х ÎU и х Ï . Отсюда вытекает, что х ÏА или х ÏВ. Если х ÏА, то тогда х ÎĀ, а значит, . Если же х ÏВ, то , а значит, . Таким образом, всякий элемент множества. . есть также элементом множества То есть

Теперь докажем обратное, то есть, что . Пусть . Если х ÎĀ, то х ÎU и х ÏА, а значит, х ÏАÇВ. Отсюда следует, что . Если же , то х ÎU и х ÏВ. Значит, х ÏАÇВ, то есть . Отсюда следует, что всякий элемент множества является также элементом множества , то есть .

Значит, , что и требовалось доказать.

б) AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);

1. Доказательство с помощью диаграммы:

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

Пусть х ÎАÇ(ВÈС). Тогда х ÎА и х ÎВÈС. Если х ÎВ, то х ÎАÇВ, что не противоречит сказанному, а значит, х Î(АÇВ)È(АÇС). Если же х ÎС, то х ÎАÇС. Следовательно, х Î(AÇB)È(AÇC). Итак, доказано, что AÇ(BÈC) Í (AÇB)È(AÇC.

Пусть теперь х Î (AÇB)È(AÇC). Если х ÎАÇВ, то х ÎА и х ÎВ. Отсюда следует, что х ÎА и х ÎВÈС, то есть х ÎАÇ(ВÈС). Если же х ÎАÇС, то х ÎА и х ÎС. Отсюда вытекает, что х ÎА и х ÎВÈС, то есть х ÎАÇ(ВÈС). Таким образом, (AÇB)È(AÇC)Í AÇ(BÈC). Следовательно, AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC). Что и требовалось доказать.

в) Пересечение множеств А и В есть подмножеством множества С тогда и только тогда, когда множество А является подмножеством объединения множеств не-В и С.

При доказательстве достаточности мы получили, что АÇВ=Æ. Очевидно, что ÆÌС, поэтому соотношение доказано. При доказательстве был рассмотрен самый общий случай. Однако здесь возможны ещё некоторые варианты при построении диаграмм. Например, случай равенства АÇВ=С либо , случай пустых множества и так далее. Очевидно, что все возможные варианты учесть бывает затруднительно. Поэтому считается, что доказательство соотношений с помощью диаграмм не всегда является корректным.

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

Необходимость. Пусть АÇВÍС и элемент х ÎА. Покажем, что в этом случае элемент множества А будет являться также и элементом множества .

Рассмотрим два случая: х ÎВ или .

Если х ÎВ, то х ÎАÇВÍС, то есть х ÎС, и, как следствие этого, .

Если же , то и . Необходимость доказана.

Пусть теперь и х ÎАÇВ. Покажем, что элемент х также будет элементом множества С.

Если х ÎАÇВ, тогда х ÎА и х ÎВ. Поскольку , значит х ÎС. Достаточность доказана.

г) Если множество А является подмножеством множества В, то тогда множество будет подмножеством множества Ā.

1. Доказательство с помощью диаграммы:

2. Доказательство с помощью определения равенства множеств.

Пусть АÍВ. Рассмотрим элемент х ÏВ (или ). Аналогично: х ÏА (или х ÎĀ). То есть всякий элемент множества есть также элементом множества Ā. А это может быть в случае, если . Что и требовалось доказать.

 

Задача 3.4. Выразить символически указанные области и упростить полученные выражения.

Решение.

1. Искомая область состоит из двух изолированных частей. Условно назовём их верхней и нижней. Множество, которое они изображают, можно описать так:

М = { xôx ÎA и х ÎВ и х ÏС или х ÎС и х ÏА и х ÏВ}.

Из определения операций над множествами получим:

М = ((АÇВ)\С)È(С\А\В).

Запишем это выражение с помощью основных операций – дополнения, объединения и пересечения:

.

Упростить это выражения нельзя, поскольку имеем по одному вхождению каждого символа. Это и есть простейший вид данной формулы.

2. Данную область можно рассматривать как объединение множеств А\В\С и АÇВÇС. По определению M = { x ô x ÎA и x ÏВ и х ÏС или х ÎА и х ÎВ и х ÎС}. Упростим:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Упростить:

а)

б) (А¸В)È(АÇВ); (ответ АÈВ);

в) (ответ V).

2. Доказать с помощью диаграмм, законов алгебры множеств и определения равенства множеств:

а) (АÈВ)\В = А\В;

б) АÇ(ВÈС) = А\(А\В)Ç(А\С);

в) АÈВ = АÇВ Þ А=В;

г) А\В = Æ Û АÇВ = А.

3. Выяснить, существует ли множество Х, удовлетворяющее при любом А равенству:

а) АÈХ = А; (ответ Æ);

б) АÇХ = А; (ответ U).