Студопедия — СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ. ОБРАЗ И ПРОООБРАЗ. БИНАРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ. ОБРАЗ И ПРОООБРАЗ. БИНАРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ






Рассмотрим два непустых множества А и В. Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг другу, образуя пары (а, b). Если задан способ такого сопоставления, то говорят, что между множествами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств А и В.

Соответствием между множествами А и В называется любое подмножество G Í А´В – декартово произведения этих множеств.

Множество А иногда называют областью отправления соответствия G, а множество В – областью прибытия.

График этого соответствия – множество упорядоченных пар (а, b) соответствия G.

Обозначается соответствие так:

G: A®B или G Í А´В = {(a, ba ÎA, b ÎB, (a, b)ÎG}.

Первой проекцией или областью определения соответствия G называется множество всех первых компонентов пар (а, b)ÎG. Обозначается

пр1 G или Dom (G) = { a ç a ÎA, (а, b)ÎG}.

Второй проекцией или областью значений соответствия G называется множество всех вторых компонентов пар (а, b)ÎG. Обозначается

пр2 G или Im (G) = { b ç b ÎB, (а, b)ÎG}.

Каждый элемент b ÎB, соответствующий элементу a ÎA, называется образом этого элемента a. Множество всех образов элемента a ÎA будем обозначать δ; (a, G) = { b ç b ÎB, (а, b)ÎG}.

Каждый элемент a ÎA, соответствующий элементу b ÎB, называется прообразом элемента b. Множество всех прообразов элемента b ÎB будем обозначать δ;─1 (b, G) = { a ç a ÎA, (а, b)ÎG}.

Очевидно, что множество всех образов всех элементов a ÎA есть ни что иное, как множество значений соответствия G (его вторая проекция), а множество всех прообразов всех элементов b ÎB - множество определения соответствия G (его первая проекция).

Пусть ХÍА, а YÍB. Образом множества Х при данном соответствии G называется такое множество

Г(X,G) = {b çb=δ(x,G), x Î X, b Î B}.

Прообразом множества Y называется множество Г─1 (Y,G) = { x ç x Î A, y Î Y, (x, y) Î G}.

Рассмотренное выше соответствие относится к двум множествам и поэтому носит название бинарного соответствия. Однако этот понятие распространяется на любое конечное число множеств. Рассмотрим, например, декартово произведение n непустых множеств: А1 ´А2 ´…´А п. Рассмотрим какое-либо подмножество G этого произведения, то есть отберём элементы произведения, удовлетворяющие некоторому условию

G Í А1 ´А2 ´…´А п =

= {(a 1, a 2, … an) ç a 1ÎA1, a 2ÎA2,…, an ÎA n, (a 1, a 2, … an)ÎG}.

Это подмножество называют п -местным соответствием на множестве А1 ´А2 ´…´А п. Подобные многоместные соответствия используются в теории баз данных. Предметом же нашего рассмотрения будут бинарные соответствия.

Задача 4.4.1. Рассмотрим экзаменационную ведомость студенческой группы и установим соответствия между студентами и полученными ими оценками.

Табл.4.1

Ф.И.О. студента Математика Физика История Физкультура
Борисенко А.В.     не явился  
Волошин В.П.   не доп.    
Марабу Б.   не явился    
Яковенко К.Д.        

Решение. Обозначим множество студентов через А = {Б, В, М, Я}, множество оценок через B = {2, 3, 4, 5}. Тогда соответствие G Í A´B = {(Б,5), (Б,4), (Б,2), (В,2), (В,3), (В,5), (М,3), (М,5), (Я,4), (Я,5)}. Некоторые упорядоченные пары встречаются несколько раз, но мы их записываем только один раз.

Первая проекция (или область определения) соответствия:

пр1G = Dom (G) = {Б,В,М,Я}, вторая проекция (область значений):

пр2 = Im (G) = {2,3,4,5}.

Образ Б: δ;(Б,G) = {2,4,5}; образ В: δ;(B,G) = {2,3,5};

образ M: δ;(M,G) = {3,5}; образ Я: δ;(Я,G) = {4}.

Прообраз 2: δ 1(2,G) = {Б,В}; прообраз 3: δ 1(3,G) = {В,М}; прообраз 4: δ 1(4,G) = {Б,Я}; прообраз 5: δ 1(5,G) = {Б,В,М}.

Задача 4.4.2. Дано соответствие G = {(a,2), (b,1), (b,5), (d,4)} для множеств А= { a, b, c, d } и B = {1, 2, 3, 4, 5}. Найти образ множества X = { a, b } и прообраз множества Y = {3, 4}.

Решение. Найдём образы элементов множества Х: δ;(а,G)=2; δ;(b,G)={1,5}. Объединяя эти элементы в одно множество, получим образ множества Х: Г(Х,G) = {1,2,5}.

Найдём прообразы элементов множества Y: δ 1(3,G) = Æ; δ 1(4,G) = d. Поэтому прообразом множества Y будет множество, состоящее из одного элемента: Г─1(Y,G) = { d }. Пустое множество Æ является частью любого множества, поэтому записи {Æ, d } и { d } выражают одну и ту же мысль.

Задача 4.4.3. Найти образ отрезка [1, 10] при соответствии y = lg x.

Решение. Функция y = lg x является непрерывной и монотонной на множестве (0, ∞) – множество А, область её изменения (-∞, ∞) – множество В. G = {(x, y)| x ÎA, y ÎB, y = lg x }. Значению х =1 соответствует у = lg1 = 0, значению х =10 соответствует у = lg10 = 1. Следовательно, образом отрезка [1, 10] будет отрезок [0, 1].

 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Дано соответствие G = {(a,4), (b,3), (b,2), (с,3), (d,4)} для множеств А= {a, b, c, d} и B = {1, 2, 3, 4}. Найти образы и прообразы элементов множеств А и В, а также и прообраз множеств X = {b, d} и Y = {2, 4}.

2. Найти прообраз отрезка [-1, 1] при соответствии y = sin x. (ответ – вся числовая ось).







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 2741. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Объект, субъект, предмет, цели и задачи управления персоналом Социальная система организации делится на две основные подсистемы: управляющую и управляемую...

Законы Генри, Дальтона, Сеченова. Применение этих законов при лечении кессонной болезни, лечении в барокамере и исследовании электролитного состава крови Закон Генри: Количество газа, растворенного при данной температуре в определенном объеме жидкости, при равновесии прямо пропорциональны давлению газа...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия