Сюръекция, инъекция, биекция

Говорят, что f отображает X на Y (и пишут ), если область значений Y совпадает с f (Х), т.е. Y = f (Х). Это означает, что для любого y Î Y найдется х Î Х такой, что y = f (x) (т.е. у любого
y Î Y $ прообраз х). Отображение «на» называют также сюръективным, или сюръекцией, от французского «sur» – «на».

Говорят, что отображение f: X ® Y взаимно-однозначно (1:1) (и пишут ), если из условий , следует, что , т.е. различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции (в этом случае каждый образ имеет не более одного прообраза). Взаимно-однозначное отображение называют также инъективным, или инъекцией.

Пусть X и Y – подмножества числовой оси. В этом случае f: X ® Y есть числовая функция числового аргумента. Для нее взаимная однозначность вытекает из монотонности. Напомним, что функция называется монотонно возрастающей на отрезке [ а, b ], если из условий , вытекает, что . Аналогично определяется монотонно убывающая на отрезке функция (определите). Функция монотонна на отрезке, если она монотонно возрастает или монотонно убывает на этом отрезке.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Монотонная функция является взаимно-однозначной. (Докажите это утверждение).