Графическое решение.

Пусть прямые заданы уравнениями: и

Признак параллельности прямых:

Признак перпендикулярности прямых:

Пример1. а) и параллельны;

б) и перпендикулярны;

Пример2. определить проходит ли прямая через точку А(1;3)?

Решение: если прямая проходит через точку А, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим координаты в уравнение: не проходит.

Пример3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(3;6).

Решение: координаты данных точек должны удовлетворять уравнению прямой. Для определения неизвестных параметров составим систему уравнений:

; решая систему, получим k=2, b=0. Т.о. уравнение искомой прямой:

Графическое решение уравнений, систем уравнений и неравенств.

1.Пусть имеется уравнение . Тогда решением данного уравнения являются абсциссы (координаты по Ох) точек пересечения графиков функций и . Рис1.

2.Пусть имеется уравнение . Тогда решением данного уравнения являются абсциссы (координаты по Ох) точек пересечения графика функции с осью Ох. Рис.2.

3.Пусть имеется система уравнений . Тогда решением данной системы являются координаты (х;у) точек пересечения графиков и . Рис.3.

 

Рис.1 Рис.2 Рис.3.

4.Пусть имеется неравенство . Тогда решением будет интервал (по Ох) на котором график функции выше графика функции . Рис.4.

5.Пусть имеется неравенство . Тогда решением будет интервал (по Ох) на котором график функции выше оси Ох. Рис.5.

Рис.4. Рис.5.

Арифметическая прогрессия.

Опр. Числовой последовательностью называется упорядоченный набор элементов (элементами являются числа), для которого известен закон получения элемента с любым номером.

Пример1: 1; -4;0; 0; -1;0,2; 5; 1000, 2… - не является числовой последовательностью.

Пример2: 2; 4; 6; 8;… - является числовой последовательностью.

Пример3: -1;0;1;-1;0;1;-1… - является числовой последовательностью.

Последовательность может быть задана несколькими способами:

1. формулой n -ного члена:

. Найдем несколько членов этой последовательности: , , . При этом способе задания последовательности можно сразу вычислить член с любым номером, например: .

2. частью последовательности (как в примерах 2 и 3) по которой можно понять закономерность. Иногда это бывает не так просто:

-1;6;-5;20…- кажется, что закономерности нет, но формула подходит. Для такой последовательности перечисление первых членов является неудачным способом задания.

3. Формулой выражающей следующий член через предыдущий:

. Здесь должно быть задано значение первого члена. Для того чтобы найти значение какого-либо члена последовательности, необходимо найти все предыдущие.

Найдем несколько членов последовательности:

, , .

Опр. арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. - n -ный член, - разность арифм. прогр..

Формула н-ного члена арифм. прогр.:

Формула суммы n-первых членов арифм. прогр.: ;

Пример. , . Составить формулу н-ного члена арифм. прогр.. Найти первые 5 членов, , сумму 10 первых членов.

;

- нашли по формуле, - нашли по опр. арифм. прогр., , .

, .

Сумму первых 10 членов найдем по второй формуле т.к. неизвестен

.

Спец формула: .

Геометрическая прогрессия.

Опр. геометрической прогрессией называется последовательность в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии. - n -ный член, - знаменатель геометр. прогр..

Формула н-ного члена геом. прогр.:

Формула суммы n-первых членов геом. прогр.: ;

Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .

Пример. , . Составить формулу н-ного члена арифм. прогр.. Найти первые 4 члена, , сумму 10 первых членов.

;

- нашли по формуле, - нашли по опр. арифм. прогр., .

, .

Сумму первых 10 членов найдем по второй формуле т.к. неизвестен

.

Спец формула: .