Студопедия — ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ






При анализе и синтезе систем автоматического управления и регулирования устройств связи широкое распространение получили следующие основные методы математического исследования: операторный метод, метод интеграла свертки (временный метод) и частотный метод. Эти методы, как и классический, основанный на теории дифференциальных уравнений, играют важнейшую роль в теории линейных систем. Все они связаны друг с другом, но каждый из них имеет свои особенности, которые оказываются более приспособленными для решения специфических задач, встречающихся в технике.

1). Передаточная функция системы.

Линейными системами в теории электрических цепей, автоматического регулирования и управления называют системы, функционирование которых во времени описывается линейными дифференциальными уравнениями (рис.10.1).

Обозначим:

f(t) – входное воздействие на систему (входной сигнал);

x(t) – реакция (отклик) системы на входное воздействие (выходной сигнал);

t – время.

 

А – оператор линейной системы:

x(t)= А [ f(t) ],

А: А [ λ1 f1(t)+ λ2 f2(t) ] = λ1 А [ f1(t) ] + λ2 А [ f2(t) ].

Выход и вход линейной системы связаны линейным дифференциальным уравнением:

, (10.1)

где – символический многочлен:

, (10.2)

().

Многочлен называют оператором линейного дифференциального уравнения.

Перейдем к решению задачи о связи выходного и входного сигналов системы в плоскости комплексной переменной . Такой переход осуществляется путем преобразования Лапласа

,

где - функция-оригинал,

- изображение ,

- оператор преобразования Лапласа.

Обратный переход во временную область действительной переменной t осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа

,

- оператор обратного преобразования Лапласа (на месте записывается преобразуемая функция).

Как известно, операторы и являются линейными операторами.

Перейдем к изображениям членов дифференциального уравнения (10.1) при нулевых начальных условиях:

.

Получим

, (10.3)

Где (10.4)

-характеристический многочлен, соответствующий символическому многочлену (10.2) в плоскости изображений.

Обозначим:

, где (10.5)

- изображение входного воздействия на систему;

- изображение реакции системы на входное воздействие.

Функция называется передаточной функцией системы. Эта функция отражает внутреннюю структуру исследуемой системы. Она играет роль оператора А в плоскости изображений.

Положим , где - импульсная функция Дирака.

Учитывая, что , получим

. (10.6)

Таким образом, для нахождения передаточной функции системы достаточно получить отклик системы на импульсное воздействие и найти его изображение. Знание позволяет определить, используя известную в операционном исчислении теорему умножения, реакцию системы на любое входное воздействие. Найдем оригинал для :

.

Из уравнения (10.5) оригинал найдется по теореме умножения изображений:

(10.7)

( - свертка функций и ).

При практическом применении операторных методов исследования линейных систем передаточная функция находится из анализа физических принципов функционирования входящих в устройство элементов, описания их с помощью дифференциальных и интегральных операторов и последующего перехода к изображениям.

Формула (10.6) позволяет исследовать анализируемую реальную систему на адекватность выбранной математической модели. Для этого нужно определить из эксперимента реакцию системы на импульсное воздействие и сравнить с , полученной из математической модели.

 

2).Характеристики элементов электрических цепей в операторной форме.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор (реактивные элементы) (рис.10.2).

Рис.10.22
Рис. 16.

Найдем передаточные функции этих элементов.

 

2.1. Активное сопротивление.

По закону Ома

.

Переходя к изображениям, получим

, .

2.2. Индуктивное сопротивление.

Обозначим L – индуктивность катушки. Из электротехники известно:

- напряжение на катушке индуктивности.

Переходя к изображениям (при ), получим:

.

Можно интерпретировать (в математическом отношении) как индуктивное сопротивление элемента L в операторной форме в плоскости изображений.

2.3. Емкостное сопротивление.

Из электротехники известно:

- напряжение на конденсаторе емкостью С.

Полагая и .

Как и в предыдущем случае, можно говорить о сопротивлении конденсатора в операторной форме

.

Преобразование Лапласа является линейным. Поэтому известные в электротехнике законы Кирхгофа имеют свои аналоги в плоскости изображений:

1) - 1-ый закон Кирхгофа (сумма изображений токов в узле равна нулю);

2) - 2-ой закон Кирхгофа (сумма изображений падений напряжения на элементах электрической цепи в замкнутом контуре, не содержащем источников э.д.с. (электродвижущей силы) равна нулю).

Использование этих законов позволяет находить общее сопротивление электрической цепи при последовательном и параллельном соединении активных и реактивных элементов по правилам, принятым для расчетов сопротивлений соответствующих соединений активных сопротивлений.

3) Примеры нахождения передаточных функций электрических цепей.

3.1. Дифференцирующее звено (рис. 10.3).

Рис.10.3


;

.

Произведение имеет размерность времени (сек). Величину называют постоянной времени -цепи. Поэтому передаточная функция рассматриваемой - цепи

. (10.8)

Если (физически это означает, что , где наибольшая частота в спектре входного воздействия), то

; .

Переходя к оригиналам, получим

.

Поэтому рассматриваемую цепь называют дифференцирующим звеном.

Для оценки качества (по различным критериям) электрических, электромеханических систем, систем автоматического управления и регулирования переходя к изображениям, получим

проводят исследование (как теоретическое, так и экспериментальное) реакции системы на единичное входное воздействие («скачок»).

, .

при единичном входном воздействии называют переходной функцией и обозначают через . Знание переходной функции позволяет определить выходной сигнал системы при любом входном воздействии . Действительно, если , то

Поэтому из (10.5)

,

где . При произвольном входном воздействии формулу (10.5) запишем в виде

По формуле Дюамеля

.

Для исследуемой цепи

.

Переходя к оригиналу (используя таблицу изображений), получим

.

 

График переходной функции изображен на рис.10.4.

 

 

3.2. Интегрирующее звено (рис 10.5).

 

Рис.10.5


В операторной форме

,

,

. (10.9)

 

Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном первого порядка.

Если (физически это означает, что , где наименьшая частота в спектре входного воздействия), то

.

Переходя к оригиналам, получим

 

.

Поэтому такое звено называют интегрирующим.

 

Для определения переходной функции воспользуемся формулой (10.7)

,

,

.

График переходной функции изображен на рис.10.6.

 

3.3. Колебательное звено (рис.10.7).

 

Рис.10.7

 


В операторной форме

,

,

.

Величина LC имеет размерность (сек2).

Обозначив , , приведем передаточную функциюколебательного звена к стандартному виду:

. (10.10)

Найдем переходную функцию колебательного звена:

,

. (10.11)

Для нахождения выполним следующие элементарные преобразования:

1) - выделение полного квадрата в знаменателе; рассмотрим случай (при этом квадратному трехчлену в знаменателе соответствует пара комплексно-сопряженных корней);

2) разложение правильной дроби на простейшие:

;

Коэффициенты А, В, С найдем методом неопределенных коэффициентов:

, , .

3)

Подставив полученное выражение в (10.11) и переходя к оригиналам (используем таблицу изображений по Лапласу), получим

График переходной функции колебательного звена приведен на рис.10.8.

 

Замечание.

При корни знаменателя в действительные отрицательные, поэтому будет содержать слагаемые вида или и колебательность в отсутствует.

Если , то

, и

Используя таблицу изображений, найдем оригинал:

.

График переходной функции приведен на рис.10.9

Обозначив , передаточную функцию можно представить в виде

.

Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном второго порядка. Это звено эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям с одинаковыми постоянными времени.

При оба корня знаменателя передаточной функции будут вещественными и отрицательными. Поэтому, может быть представлена в виде

,

где , .

При единичном входном возмущении

Переходя к оригиналу, получим

,

где .

Рассматриваемое звено, как и в предыдущем случае, называют апериодическим звеном второго порядка, которое эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям первого порядка с различными постоянными времени и .

График переходной функции апериодического звена второго порядка представлен на рис. 10.10

 

4). Частотные характеристики линейных систем.

Общее решение уравнения (10.1) имеет вид:

Где - общее решение соответствующего однородного уравнения;

- частное решение данного уравнения.

Оператору уравнения (10.1) соответствует характеристическое уравнение

.

Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части (), то . Это обусловлено тем, что содержит слагаемые вида (для простого корня) или (для k – кратного корня), модули которых стремятся к 0 при (, т.к. ). Функция отражает собственные колебания системы, которые с течением времени затухают. Поэтому при - установившийся режим (колебания системы обусловлены входным воздействием ).

Пусть , , (множество комплексных чисел).

Будем искать частное решение в виде , - неизвестное число, подлежащее определению.

; и вообще,

.

Подставив в уравнение (10.1), получим

.

 

Функция характеризует частотные свойства линейной системы. Нетрудно видеть, что . Представим в виде:

,

- частотная характеристика системы;

- амплитудно-частотная характеристика системы (коэффициент усиления системы на частоте );

- фазочастотная характеристика системы (она выражает сдвиг по фазе выходного сигнала системы по отношению к входному сигналу на частоте ).

Найдем частотные характеристики электрических цепей, рассмотренных в 3.1, 3.2, 3.3.

4.1. Дифференцирующее звено.

; ; ;

; .

График амплитудно-частотной характеристики приведен на рис.10.11.

 

 


Низкие частоты подавляются (коэффициент усиления уменьшается при уменьшении ). Устройство называют фильтром верхних частот.

4.2. Интегрирующее звено.

; .

; ; .

График приведен на рис 10.12.

 

Устройство называют фильтром низких частот (высокие частоты подавляются).

.

4.3. Колебательное звено.

,

,

,

,

.

Нетрудно показать, что на этой частоте имеет экстремум (max). Частота называется резонансной частотой колебательного контура.

.

На рис. 10.13 приведена амплитудно-частотная характеристика колебательного звена.

 


Рис. 10.13

При малых потерях в колебательном контуре (R – малая величина) величина мала и при частотах входного воздействия близких к наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний выходного напряжения (происходит «раскачка» системы). Это явление носит название резонанса.

Для исследования процессов в колебательном звене при резонансе частотный метод использовать нельзя, т.к. он не отражает переходных процессов и пригоден лишь для исследования установившихся режимов. Поэтому воспользуемся операторным методом исследования, положив (физически это означает отсутствие потерь в колебательном звене, что имеет место при R = 0). Подобная идеализация реальных процессов позволяет выявить существенные моменты, имеющие место при резонансе.

-

передаточная функция колебательного звена при отсутствии потерь. Частоту называют собственной частотой колебательного звена. Найдем выходной сигнал колебательного звена при (амплитуду выходного сигнала можно принять равной 1).

;

Используя таблицу изображений, найдем :

.

Слагаемое отражает как раз тот факт, который был назван «раскачкой системы»: при воздействии на систему с частотой равной резонансной, происходит увеличение амплитуды колебаний выходного сигнала.

 

Эффект резонанса широко используется, например, в радиотехнических устройствах при выделении полезного сигнала заданной частоты из всего спектра сигналов, поступающих в приемное устройство. В механических системах явление резонанса может быть использовано при создании вибрационных машин (амплитуда колебаний вибратора должна быть максимально большой). В качестве отрицательного результата явления резонанса можно рассматривать разрушение механических конструкций при совпадении собственной частоты их колебаний и частоты внешнего возмущающего воздействия.

 

4.4. Фазоопережающее звено.

Фазоопережающие звенья используются для достижения устойчивости систем автоматического регулирования и коррекции их динамических характеристик. Поэтому такие звенья называют корректирующими. Практически корректирующие звенья часто реализуются на операционных усилителях, включая необходимые активные и реактивные элементы на выходе усилителя или в обратную связь.

На рис.10.14 приведена простейшая схема фазоопережающего звена.

Рис.10.144  

Передаточная функция устройства находится по формуле

, где

- операторное сопротивление цепи обратной связи операционного усилителя (ОУ),

- операторное сопротивление входной цепи ОУ.

В рассматриваемой цепи ;

- операторное сопротивление параллельно соединенных конденсатора и резистора .

, где .

Рассматриваемое корректирующее устройство имеет передаточную функцию

,

где k – коэффициент усиления звена на нулевой частоте;

- амплитудно-частотная характеристика звена (АЧХ);

- фазочастотная характеристика звена (ФЧХ).

В качестве примера рассмотрим корректирующее фазоопережающее звено с параметрами:

,

,

.

- часть ветви гиперболы с полуосями a = 1, b = 10 (ось - мнимая ось).

График АЧХ представлен на рис. 10.15.


.

График ФЧХ представлен на рис. 10.16.


Из графиков следует, что коэффициент усиления звена при больше 1 и на любой частоте выходное напряжение опережает по фазе входное напряжение (поэтому звено и называют фазоопережающим).







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 699. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Словарная работа в детском саду Словарная работа в детском саду — это планомерное расширение активного словаря детей за счет незнакомых или трудных слов, которое идет одновременно с ознакомлением с окружающей действительностью, воспитанием правильного отношения к окружающему...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия