ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМПри анализе и синтезе систем автоматического управления и регулирования устройств связи широкое распространение получили следующие основные методы математического исследования: операторный метод, метод интеграла свертки (временный метод) и частотный метод. Эти методы, как и классический, основанный на теории дифференциальных уравнений, играют важнейшую роль в теории линейных систем. Все они связаны друг с другом, но каждый из них имеет свои особенности, которые оказываются более приспособленными для решения специфических задач, встречающихся в технике. 1). Передаточная функция системы. Линейными системами в теории электрических цепей, автоматического регулирования и управления называют системы, функционирование которых во времени описывается линейными дифференциальными уравнениями (рис.10.1). Обозначим: f(t) – входное воздействие на систему (входной сигнал); x(t) – реакция (отклик) системы на входное воздействие (выходной сигнал); t – время.
А – оператор линейной системы: x(t)= А [ f(t) ], А: А [ λ1 f1(t)+ λ2 f2(t) ] = λ1 А [ f1(t) ] + λ2 А [ f2(t) ]. Выход и вход линейной системы связаны линейным дифференциальным уравнением: , (10.1) где – символический многочлен: , (10.2) (). Многочлен называют оператором линейного дифференциального уравнения. Перейдем к решению задачи о связи выходного и входного сигналов системы в плоскости комплексной переменной . Такой переход осуществляется путем преобразования Лапласа , где - функция-оригинал, - изображение , - оператор преобразования Лапласа. Обратный переход во временную область действительной переменной t осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа , - оператор обратного преобразования Лапласа (на месте записывается преобразуемая функция). Как известно, операторы и являются линейными операторами. Перейдем к изображениям членов дифференциального уравнения (10.1) при нулевых начальных условиях: . Получим , (10.3) Где (10.4) -характеристический многочлен, соответствующий символическому многочлену (10.2) в плоскости изображений. Обозначим: , где (10.5) - изображение входного воздействия на систему; - изображение реакции системы на входное воздействие. Функция называется передаточной функцией системы. Эта функция отражает внутреннюю структуру исследуемой системы. Она играет роль оператора А в плоскости изображений. Положим , где - импульсная функция Дирака. Учитывая, что , получим . (10.6) Таким образом, для нахождения передаточной функции системы достаточно получить отклик системы на импульсное воздействие и найти его изображение. Знание позволяет определить, используя известную в операционном исчислении теорему умножения, реакцию системы на любое входное воздействие. Найдем оригинал для : . Из уравнения (10.5) оригинал найдется по теореме умножения изображений: (10.7) ( - свертка функций и ). При практическом применении операторных методов исследования линейных систем передаточная функция находится из анализа физических принципов функционирования входящих в устройство элементов, описания их с помощью дифференциальных и интегральных операторов и последующего перехода к изображениям. Формула (10.6) позволяет исследовать анализируемую реальную систему на адекватность выбранной математической модели. Для этого нужно определить из эксперимента реакцию системы на импульсное воздействие и сравнить с , полученной из математической модели.
2).Характеристики элементов электрических цепей в операторной форме. Рассмотрим электрическую цепь, содержащую активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор (реактивные элементы) (рис.10.2).
Найдем передаточные функции этих элементов.
2.1. Активное сопротивление. По закону Ома . Переходя к изображениям, получим , . 2.2. Индуктивное сопротивление. Обозначим L – индуктивность катушки. Из электротехники известно: - напряжение на катушке индуктивности. Переходя к изображениям (при ), получим: . Можно интерпретировать (в математическом отношении) как индуктивное сопротивление элемента L в операторной форме в плоскости изображений. 2.3. Емкостное сопротивление. Из электротехники известно: - напряжение на конденсаторе емкостью С. Полагая и . Как и в предыдущем случае, можно говорить о сопротивлении конденсатора в операторной форме . Преобразование Лапласа является линейным. Поэтому известные в электротехнике законы Кирхгофа имеют свои аналоги в плоскости изображений: 1) - 1-ый закон Кирхгофа (сумма изображений токов в узле равна нулю); 2) - 2-ой закон Кирхгофа (сумма изображений падений напряжения на элементах электрической цепи в замкнутом контуре, не содержащем источников э.д.с. (электродвижущей силы) равна нулю). Использование этих законов позволяет находить общее сопротивление электрической цепи при последовательном и параллельном соединении активных и реактивных элементов по правилам, принятым для расчетов сопротивлений соответствующих соединений активных сопротивлений. 3) Примеры нахождения передаточных функций электрических цепей. 3.1. Дифференцирующее звено (рис. 10.3).
; . Произведение имеет размерность времени (сек). Величину называют постоянной времени -цепи. Поэтому передаточная функция рассматриваемой - цепи . (10.8) Если (физически это означает, что , где наибольшая частота в спектре входного воздействия), то ; . Переходя к оригиналам, получим . Поэтому рассматриваемую цепь называют дифференцирующим звеном. Для оценки качества (по различным критериям) электрических, электромеханических систем, систем автоматического управления и регулирования переходя к изображениям, получим проводят исследование (как теоретическое, так и экспериментальное) реакции системы на единичное входное воздействие («скачок»). , . при единичном входном воздействии называют переходной функцией и обозначают через . Знание переходной функции позволяет определить выходной сигнал системы при любом входном воздействии . Действительно, если , то Поэтому из (10.5) , где . При произвольном входном воздействии формулу (10.5) запишем в виде По формуле Дюамеля . Для исследуемой цепи . Переходя к оригиналу (используя таблицу изображений), получим .
График переходной функции изображен на рис.10.4.
3.2. Интегрирующее звено (рис 10.5).
В операторной форме , , . (10.9)
Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном первого порядка. Если (физически это означает, что , где наименьшая частота в спектре входного воздействия), то . Переходя к оригиналам, получим
. Поэтому такое звено называют интегрирующим.
Для определения переходной функции воспользуемся формулой (10.7) , , . График переходной функции изображен на рис.10.6.
3.3. Колебательное звено (рис.10.7).
В операторной форме , , . Величина LC имеет размерность (сек2). Обозначив , , приведем передаточную функциюколебательного звена к стандартному виду: . (10.10) Найдем переходную функцию колебательного звена: , . (10.11) Для нахождения выполним следующие элементарные преобразования: 1) - выделение полного квадрата в знаменателе; рассмотрим случай (при этом квадратному трехчлену в знаменателе соответствует пара комплексно-сопряженных корней); 2) разложение правильной дроби на простейшие: ; Коэффициенты А, В, С найдем методом неопределенных коэффициентов: , , . 3) Подставив полученное выражение в (10.11) и переходя к оригиналам (используем таблицу изображений по Лапласу), получим
График переходной функции колебательного звена приведен на рис.10.8.
Замечание. При корни знаменателя в действительные отрицательные, поэтому будет содержать слагаемые вида или и колебательность в отсутствует. Если , то , и
Используя таблицу изображений, найдем оригинал: . График переходной функции приведен на рис.10.9 Обозначив , передаточную функцию можно представить в виде . Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном второго порядка. Это звено эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям с одинаковыми постоянными времени. При оба корня знаменателя передаточной функции будут вещественными и отрицательными. Поэтому, может быть представлена в виде , где , . При единичном входном возмущении Переходя к оригиналу, получим , где . Рассматриваемое звено, как и в предыдущем случае, называют апериодическим звеном второго порядка, которое эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям первого порядка с различными постоянными времени и . График переходной функции апериодического звена второго порядка представлен на рис. 10.10
4). Частотные характеристики линейных систем. Общее решение уравнения (10.1) имеет вид: Где - общее решение соответствующего однородного уравнения; - частное решение данного уравнения. Оператору уравнения (10.1) соответствует характеристическое уравнение . Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части (), то . Это обусловлено тем, что содержит слагаемые вида (для простого корня) или (для k – кратного корня), модули которых стремятся к 0 при (, т.к. ). Функция отражает собственные колебания системы, которые с течением времени затухают. Поэтому при - установившийся режим (колебания системы обусловлены входным воздействием ). Пусть , , (множество комплексных чисел). Будем искать частное решение в виде , - неизвестное число, подлежащее определению. ; и вообще, . Подставив в уравнение (10.1), получим .
Функция характеризует частотные свойства линейной системы. Нетрудно видеть, что . Представим в виде: , - частотная характеристика системы; - амплитудно-частотная характеристика системы (коэффициент усиления системы на частоте ); - фазочастотная характеристика системы (она выражает сдвиг по фазе выходного сигнала системы по отношению к входному сигналу на частоте ). Найдем частотные характеристики электрических цепей, рассмотренных в 3.1, 3.2, 3.3. 4.1. Дифференцирующее звено. ; ; ; ; . График амплитудно-частотной характеристики приведен на рис.10.11.
Низкие частоты подавляются (коэффициент усиления уменьшается при уменьшении ). Устройство называют фильтром верхних частот. 4.2. Интегрирующее звено. ; . ; ; . График приведен на рис 10.12.
Устройство называют фильтром низких частот (высокие частоты подавляются). . 4.3. Колебательное звено. , , , , . Нетрудно показать, что на этой частоте имеет экстремум (max). Частота называется резонансной частотой колебательного контура. . На рис. 10.13 приведена амплитудно-частотная характеристика колебательного звена.
Рис. 10.13 При малых потерях в колебательном контуре (R – малая величина) величина мала и при частотах входного воздействия близких к наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний выходного напряжения (происходит «раскачка» системы). Это явление носит название резонанса. Для исследования процессов в колебательном звене при резонансе частотный метод использовать нельзя, т.к. он не отражает переходных процессов и пригоден лишь для исследования установившихся режимов. Поэтому воспользуемся операторным методом исследования, положив (физически это означает отсутствие потерь в колебательном звене, что имеет место при R = 0). Подобная идеализация реальных процессов позволяет выявить существенные моменты, имеющие место при резонансе. - передаточная функция колебательного звена при отсутствии потерь. Частоту называют собственной частотой колебательного звена. Найдем выходной сигнал колебательного звена при (амплитуду выходного сигнала можно принять равной 1). ; Используя таблицу изображений, найдем : . Слагаемое отражает как раз тот факт, который был назван «раскачкой системы»: при воздействии на систему с частотой равной резонансной, происходит увеличение амплитуды колебаний выходного сигнала.
Эффект резонанса широко используется, например, в радиотехнических устройствах при выделении полезного сигнала заданной частоты из всего спектра сигналов, поступающих в приемное устройство. В механических системах явление резонанса может быть использовано при создании вибрационных машин (амплитуда колебаний вибратора должна быть максимально большой). В качестве отрицательного результата явления резонанса можно рассматривать разрушение механических конструкций при совпадении собственной частоты их колебаний и частоты внешнего возмущающего воздействия.
4.4. Фазоопережающее звено. Фазоопережающие звенья используются для достижения устойчивости систем автоматического регулирования и коррекции их динамических характеристик. Поэтому такие звенья называют корректирующими. Практически корректирующие звенья часто реализуются на операционных усилителях, включая необходимые активные и реактивные элементы на выходе усилителя или в обратную связь. На рис.10.14 приведена простейшая схема фазоопережающего звена.
Передаточная функция устройства находится по формуле , где - операторное сопротивление цепи обратной связи операционного усилителя (ОУ), - операторное сопротивление входной цепи ОУ. В рассматриваемой цепи ; - операторное сопротивление параллельно соединенных конденсатора и резистора . , где . Рассматриваемое корректирующее устройство имеет передаточную функцию , где k – коэффициент усиления звена на нулевой частоте; - амплитудно-частотная характеристика звена (АЧХ); - фазочастотная характеристика звена (ФЧХ). В качестве примера рассмотрим корректирующее фазоопережающее звено с параметрами: , , . - часть ветви гиперболы с полуосями a = 1, b = 10 (ось - мнимая ось). График АЧХ представлен на рис. 10.15. . График ФЧХ представлен на рис. 10.16. Из графиков следует, что коэффициент усиления звена при больше 1 и на любой частоте выходное напряжение опережает по фазе входное напряжение (поэтому звено и называют фазоопережающим).
|