Студопедия — Теорема.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема.






Пусть функция g (x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную и выполнены два условия:

1) q < 1 при x [a, b];

2) значения функции y = g(х) принадлежат отрезку [a,b] для любого x [a, b]

Тогда при любом выборе начального приближения x(0) [a, b] процесс итераций сходится к единственному корню уравнения (1) на отрезке [a, b]

Оценка погрешности k -го приближения x (k) к корню такова:

, (8)

где

Укажем теперь один из способов преобразования уравнения

f(x) = 0 (9)

к виду x = g(x), допускающему применение метода итераций, сходящихся к решению уравнения (9).

Для любого числа уравнение (9) равносильно уравнению (5), где

g (x) = x + f(x).

Предположим, что производная f ' (x) > 0 и непрерывна

на [ a,b ]. Пусть , ;

положим

,

и рассмотрим функцию

. (10)

Для функции, определенной формулой (10), выполняются достаточные условия сходимости метода итераций решения уравнения (9). В частности, условие 1) теоремы следует из неравенств

0 < m f ' (x) M,

0 g ' (x) = 1 - (1/M) f ' (x) 1 - m/M = g < 1 .

Замечание1. Если окажется, что производная f ' (x) отрицательна на отрезке [ a, b], то уравнение (1) можно заменить на равносильное уравнение -f(x) = 0 и использовать указанное преобразование.

Замечание 2. Если вычисление точного числа затруднительно, то можно заменить его произвольным числом М1> M. Однако при большом М1 число q = 1 - m / М1 ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.

Замечание 3. При нахождении корня уравнения (1) с заданной точностью или при оценке погрешности k-го приближения можно, не вычисляя точного значения числа

q = max | g ' (x) |,ограничиться следующей практической рекомендацией:

при 0 < q (1/2) (11)

при (1/2) < q < 1. (12)

Блок – схема алгоритма, реализующего итерационный метод, приведена на рис. 3.2.

 


 


  >
<
<
b = x1
d = b - a
a = x1
0
x1 = (a + b ) / 2

 

 

 


Рис 3.3 Блок – схема алгоритма, реализующего метод половинного деления

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 480. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Мелоксикам (Мовалис) Групповая принадлежность · Нестероидное противовоспалительное средство, преимущественно селективный обратимый ингибитор циклооксигеназы (ЦОГ-2)...

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия