Лапластың локальдық және интегралдық теоремалары

 

Өткен параграфта келтірілген Бернулли формуласын сынақтар саны n өте үлкен болғанда қолдануда едәуір қиыншылықтар туғызады, өте үлкен сандармен жұмыс істеуге тура келеді. Мысалы n=50, k=30, p=0.1 болсын. Онда P₅₀(30) ықтималдылығын есептеген кезде Р₅₀(30)=50!/(30!20!)·(0,1)³⁰·(0,9)²⁰, мына сандарды 50!=30414093·10⁵⁷, 30! =26525286·10²⁵, 20!=24329020·10¹¹ есептеп, оларға көбейту бөлу операцияларын қолдануға тура келеді. Әрине, әртүрлі арнайы таблицаларды (логарифмдер мен факториалдарды есептеуге арналған) қолданып есептеу жұмыстарын аздап қана жеңілдетуге болады. Бірақ таблицаларда жуық міндер келтіріледі, сосын жуық мәндермен жұмыс істеген кезде дәл мәннен ауытқулар жинақталып үлкен ауытқуға әкеліп соқтыруы мүмкін.

Осындай кезде Бернулли формуласының орнына Лапластың локальдық теоремасындағы асимптотикалық формуланы қолданған дұрыс болады. Лапластың локальдық теоремасы сынақтар саны өте үлкен болған кезде ықтималдылықтың жуық мәнін есептеуде қолданылады.

Лапластың локальдық теоремасы. А оқиғасының әр сынақта орындалу ықтималдылығы р тұрақты болып, ноль мен бір санына тең болмасын. Онда n сынақта А оқиғасының дәл k рет орындалу ықтималдылығы Р_n(k) төмендегі функцияның мәніне жуық болады

Мына функцияның

мәндері есептелген таблицалар бар. Таблицада функция мәндері x аргументінің оң мәндері үшін келтірілген. Теріс мәндер үшін функцияның тақ функция екенін, яғни ϕ(-x)=-ϕ(x) екенін ескеріп сол таблицаларды қолданады.

Сонымен A оқиғасының n тәуелсіз сынақта дәл k рет орындалуының ықтималдылығы жуық түрде мынаған тең болады екен

Енді басқа есепті қаралық. A оқиғасының әр сынақта орындалу ықтималдылығы тұрақты p (0<p<1) санына тең болсын. Енді n тәуелсіз сынақта A оқиғасының орындалу санының k₁ -ден кіші болмауының және k₂ -ден үлкен болмауының, яғни A оқиғасының орындалу саны k₁ және k₂ сандары аралығында жату ықтималдылығы P_n(k₁,k₂) болсын. Осы ықтималдылықты төмендегі Лапластың интегралдық теоремасының көмегі арқылы есептейді.

Лапластың интегралдық теоремасы. A оқиғасының әр сынақта орындалу ықтималдылығы тұрақты p (0<p<1) санына тең болсын. Онда оқиғасының тәуелсіз сынақта орындалу саны мен арасында жату ықтималдылығы жуық түрде төмендегі интегралға тең болады

Теоремадағы интеграл элементар функциялар көмегі арқылы өрнектелмейді. Сондықтан есептер шығарған кезде, Лапластың интегралдық теоремасын қолданған үшін, арнайы таблицаларпайдаланылады. Мына интегралдың

мәндерінің таблицасы барлық дерлік ықтималдылықтар теориясы мен математикалық статистика оқулықтарының бәрінде бар деуге болады. Осы интегралды программасында есептеуге арналған арнайы функция бар. Таблицада Φ(x) функциясының мәндері аргументтің тек қана оң мәндері үшін келтірілген, ал теріс мәндер үшін бұл функцияның жұп функция екенін, яғни Φ(-x)=-Φ(x) екенін пайдаланады. Таблицада функция аргументтің x=5 болған мәндеріне дейін ғана бар, ал x>5 болған кезде Φ(x)=0.5 деп есептеледі. Φ(x) функциясын Лаплас функциясы дейді.