Студопедия — Математическое ожидание дискретной случайной величины
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Математическое ожидание дискретной случайной величины






Математическим ожиданием дсв называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности и обозначается.

Если дсв задана законом распределения

 

, то

Пусть произведено испытаний, в которых случайная величина приняла раз значение, раз значение, …, раз значение, причём ++…+ =. Тогда сумма всех значений, принятых, равна. Найдём среднее арифметическое всех значений. Итак,. Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

• Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

В самом деле, постоянную можно рассмотреть как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью.

 

 

• Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е..

 

 

.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Если, то

 

• Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е..

Если, то

 

 

+

, т.к..

• Математическое ожидание числа появлений события А в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытаний, т.е.

 

Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины в ряде вопросов является достаточной характеристикой изучаемой случайной величины. Но бывает так, что одно среднее значение не даёт практически исчерпывающей характеристики случайной величины, а требуется ещё знать, сколь велики отклонения отдельных значений случайной величины от её математического ожидания.

Например, по данным статистического наблюдения изучается: средний рост или вес человека в определённой группе. Результаты опыта или наблюдения может считаться удачным, если возможные значения случайной величины незначительно отличаются от математического ожидания. Поэтому возникает необходимость введения ещё понятия отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием:.

Это отклонение характеризует рассеяние случайной величины. На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение, т.е. математическое ожидание отклонения.

Покажем, что математическое ожидание отклонения равно нулю. В самом деле. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. В случае замены абсолютными значениями приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьёзным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания и обозначают. Таким образом:

При решении практических задач часто пользуются немного видоизменённой формулой дисперсии, а именно:. При преобразовании было учтено, что математическое ожидание есть постоянная величина, а значит, есть также постоянные величины. Итак,

Дисперсия обладает следующими свойствами:

• Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е..

В самом деле.

.

• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е..

В самом деле.

.

• Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

 

• Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии, т.е.

 

 

• Дисперсия числа появления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании, т.е..

.







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 404. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Что происходит при встрече с близнецовым пламенем   Если встреча с родственной душой может произойти достаточно спокойно – то встреча с близнецовым пламенем всегда подобна вспышке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия